Exercício 5-\mathrm{A} reação elementar \mathrm{A}_{(f)}+2 \mathrm{~B}_{(f)} \rightleftharpoons \mathrm{P} com equação da taxa igual a:
\left(-r_{A}\right)=-\frac{1}{2} r_{B}=\left(12,5 \frac{l^{2}}{\mathrm{~mol}^{2} \cdot \mathrm{~min}}\right) C_{A} C_{B}^{2}-\left(1,5 \mathrm{~min}^{-1}\right) C_{P} \quad em [ \mathrm{mol} / \mathrm{l} \cdot \mathrm{min} ], é processada em um reator CSTR ideal de 6,0 litros. Duas correntes, uma contendo 2,8 mols de A /litro e outra contendo 1,6 \mathrm{mols} de B /litro, alimentam o reator com vazões volumétricas iguais. Deseja-se uma conversão de 75 \% do componente em menor proporção. Calcule a vazão volumétrica e cada corrente do reator.

Passo 1

O enunciado dá uma reação elementar \mathrm{A}_{(f)}+2\mathrm{B}_{(f)}\rightleftharpoons \mathrm{P} com lei de velocidade
\left(-r_A\right)=-\tfrac{1}{2}r_B=\left(12{,}5\\ \frac{\mathrm{L}^2}{\mathrm{mol}^2\cdot\mathrm{min}}\right)C_A C_B^2-\left(1{,}5\\ \mathrm{min}^{-1}\right)C_P,
onde as unidades de \left(-r_A\right) são \mathrm{mol}/(\mathrm{L}\cdot\mathrm{min}). O reator é um CSTR ideal de volume V=6{,}0\\ \mathrm{L}. Há duas correntes de alimentação com vazões volumétricas iguais (cada uma \,q em \mathrm{L/min}): uma contém 2{,}8\\ \mathrm{mol/L} de A e a outra contém 1{,}6\\ \mathrm{mol/L} de B. Deseja-se conversão de 75\% do componente em menor proporção. Pede-se calcular a vazão volumétrica (das alimentações / total) e cada corrente do reator (correntes molares).
Informações relevantes listadas:
\begin{aligned} &V=6{,}0\\ \mathrm{L},\\\ &C_{A0}=2{,}8\\ \mathrm{mol/L},\quad C_{B0}=1{,}6\\ \mathrm{mol/L},\\\ &\text{vazões volumétricas de cada alimentação}=q\\ (\text{iguais}),\quad Q=2q\\ (\text{vazão total}),\\\ &\text{conversão do componente em menor proporção }X_{\text{menor}}=0{,}75. \end{aligned}õéçãããçã

Passo 2

Determinar qual é o componente em menor proporção (limitante em relação à estequiometria). Para reagir totalmente, a razão estequiométrica necessária é B/A=2 (são necessários 2 mols de B por 1 mol de A). Na alimentação, por litro temos
\frac{C_{B0}}{C_{A0}}=\frac{1{,}6}{2{,}8}=0{,}5714\ldots
Como 0{,}5714<2, isto significa que, comparando com a estequiometria, B está em menor proporção (faltando B). Portanto o componente de menor proporção é \mathrm{B} e a conversão de 75\% refere-se a B, ou seja X_B=0{,}75.

Passo 3

Relacionar conversão com concentrações e vazões. Definição de conversão de B:
X_B=\frac{F_{B0}-F_B}{F_{B0}},
onde F_{B0} é a corrente molar de B na alimentação e F_B é a corrente molar de B na saída. As correntes molares de alimentação são F_{A0}=q C_{A0} e F_{B0}=q C_{B0}. Como o CSTR tem vazão total de saída Q=2q e concentração de saída igual à concentração no reator, temos
F_B = Q C_B = 2q\,C_B.
Substituindo na definição de conversão:
X_B=\frac{q C_{B0}-2q C_B}{q C_{B0}}=1-\frac{2C_B}{C_{B0}}.
Isolando C_B:
C_B=\frac{C_{B0}}{2}\,(1-X_B).

Passo 4

Calcular as concentrações no reator usando X_B=0{,}75.
Calcular C_B:
C_B=\frac{1{,}6}{2}(1-0{,}75)=0{,}8\times 0{,}25=0{,}20\\ \mathrm{mol/L}.
Calcular C_A. A estequiometria diz que para cada 2 mol de B consumidos consome-se 1 mol de A. Moles de B consumidos por unidade de tempo: q C_{B0} X_B. Então moles de A consumidos por unidade de tempo: \tfrac{1}{2}q C_{B0} X_B. Assim a corrente molar de A na saída é
F_A = F_{A0}-\tfrac{1}{2}q C_{B0} X_B = q C_{A0}-\tfrac{1}{2}q C_{B0} X_B.
A concentração no reator C_A é F_A/Q:
C_A=\frac{q C_{A0}-\tfrac{1}{2}q C_{B0} X_B}{2q}=\frac{C_{A0}-\tfrac{1}{2}C_{B0} X_B}{2}.
Substituindo valores:
C_A=\frac{2{,}8-\tfrac{1}{2}\times1{,}6\times0{,}75}{2} =\frac{2{,}8-0{,}8\times0{,}75}{2}.
Calcule \tfrac{1}{2}\times1{,}6=0{,}8 e 0{,}8\times0{,}75=0{,}6. Então
C_A=\frac{2{,}8-0{,}6}{2}=\frac{2{,}2}{2}=1{,}10\\ \mathrm{mol/L}.
Calcular C_P. Produto inicial desprezado ( C_{P0}=0). Moles de P formados por unidade de tempo igualam moles de A consumidos (estequiometria 1:1), logo
C_P=\frac{\text{produção de P por tempo}}{Q}=\frac{\tfrac{1}{2}q C_{B0} X_B}{2q}=\frac{C_{B0} X_B}{4}.çã
Substituindo:
C_P=\frac{1{,}6\times0{,}75}{4}=\frac{1{,}2}{4}=0{,}30\\ \mathrm{mol/L}.
Resumo até aqui:
C_A=1{,}10\\ \mathrm{mol/L},\quad C_B=0{,}20\\ \mathrm{mol/L},\quad C_P=0{,}30\\ \mathrm{mol/L}.

Passo 5

Fazer balanço molar em estado estacionário para um CSTR e obter q. Para qualquer espécie i:
F_{i0}-F_i + V r_i =0,
onde r_i é a taxa de formação volumétrica (mol/(L·min)) e F_i são correntes molares na saída. Vou usar o balanço em A, pois já temos C_A e as correntes em função de q.
Expressões:
F_{A0}=q C_{A0}=q(2{,}8), \qquad F_A=Q C_A=2q(1{,}10)=2{,}20\,q.
Logo
F_{A0}-F_A = q(2{,}8-2{,}20)=0{,}60\,q.
Balanço: 0{,}60\,q + V r_A =0, portanto
q = -\frac{V r_A}{0{,}60}.
Precisamos de r_A (taxa volumétrica para A) a partir da lei de velocidade dada.

Passo 6

Calcular r_A usando a lei de velocidade. A expressão dada é
\left(-r_A\right)=12{,}5\,C_A C_B^2 - 1{,}5\,C_P.
Como \left(-r_A\right)=-r_A, então
r_A = -\left(12{,}5\,C_A C_B^2 - 1{,}5\,C_P\right) = -12{,}5\,C_A C_B^2 +1{,}5\,C_P.
Substituir as concentrações encontradas:
C_A=1{,}10,\quad C_B=0{,}20,\quad C_B^2=0{,}04,\quad C_P=0{,}30.
Calcule termo a termo:
12{,}5\times1{,}10\times0{,}04 = 12{,}5\times0{,}044 = 0{,}55\\ \mathrm{mol/(L\cdot min)},
1{,}5\times0{,}30 = 0{,}45\\ \mathrm{mol/(L\cdot min)}.
Assim
r_A = -0{,}55 + 0{,}45 = -0{,}10\\ \mathrm{mol/(L\cdot min)}.
(Nota: r_A negativo indica consumo líquido de A, como esperado.)

Passo 7

Calcular q a partir do balanço:
q = -\frac{V r_A}{0{,}60} = -\frac{6{,}0\\ (\mathrm{L})\times(-0{,}10\\ \mathrm{mol/(L\cdot min)})}{0{,}60} = \frac{0{,}60}{0{,}60}=1{,}0\\ \mathrm{L/min}.
Portanto cada alimentação tem vazão volumétrica q=1{,}0\\ \mathrm{L/min}. Vazão total de saída é
Q=2q=2{,}0\\ \mathrm{L/min}.

Passo 8

Calcular as correntes molares (cada corrente do reator que saiu) usando Q e as concentrações:
F_A = Q C_A = 2{,}0\times1{,}10 = 2{,}20\\ \mathrm{mol/min},
F_B = Q C_B = 2{,}0\times0{,}20 = 0{,}40\\ \mathrm{mol/min},
F_P = Q C_P = 2{,}0\times0{,}30 = 0{,}60\\ \mathrm{mol/min}.
Também é útil confirmar as correntes de alimentação:
F_{A0}=q C_{A0}=1{,}0\times2{,}8=2{,}80\\ \mathrm{mol/min}, \qquad F_{B0}=1{,}0\times1{,}6=1{,}60\\ \mathrm{mol/min}.
Verificação rápida: consumo de B = F_{B0}-F_B=1{,}60-0{,}40=1{,}20\\ \mathrm{mol/min}, que é 75\% de 1{,}60 (correto). Consumo de A = F_{A0}-F_A=2{,}80-2{,}20=0{,}60\\ \mathrm{mol/min}, que é metade do consumo de B (estequiometria), e produção de P =0{,}60\\ \mathrm{mol/min} (coerente).

Resposta

Vazão de cada alimentação: 1{,}0\\ \mathrm{L/min}
Vazão total do reator: 2{,}0\\ \mathrm{L/min}
Corrente de saída A: F_A=2{,}20\\ \mathrm{mol/min}
Corrente de saída B: F_B=0{,}40\\ \mathrm{mol/min}
Corrente de saída P: F_P=0{,}60\\ \mathrm{mol/min}

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