Exercício 3 - A reação de decomposição em fase vapor, \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}+\mathrm{C} é processada em um reator CSTR ideal a 4,00 \mathrm{~atm} e 600^{\circ} \mathrm{C}. A composição da alimentação é 80 \% molar de A e 20 \% de inerte. Sabendo-se que o fluxo mássico de alimentação de A é igual a 250 \mathrm{~kg} / \mathrm{h}, calcule o volume do reator para obter uma conversão de 65 \% e o tempo de residência médio.
Dados: \quad \mathrm{k}=7,8 \times 10^{9} \exp (-38200 / \mathrm{RT}) em \left[\mathrm{s}^{-1}\right]
\begin{aligned} & \mathrm{MM}_{\Lambda}=134 \mathrm{gmol} \\\ & \mathrm{R}=1,987 \mathrm{cal} / \mathrm{mol} . \mathrm{K}=0,082 \mathrm{~atm} . \mathrm{l} / \mathrm{mol} . \mathrm{K} \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular o volume do reator CSTR ideal necessário para obter uma conversão de 65\% da espécie \mathrm{A}.
  • Calcular o tempo de residência médio.
Informações fornecidas (vou listar tudo que vamos usar):
  • Reação: \mathrm{A}\rightarrow \mathrm{B}+\mathrm{C}.
  • Pressão do processo: P=4{,}00\\ \mathrm{atm}.
  • Temperatura do processo: T=600^\circ\mathrm{C}=873{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Composição molar da alimentação: \;y_{A0}=0{,}80 e inertes \;y_{I0}=0{,}20.
  • Fluxo mássico de \mathrm{A}: \dot{m}_A=250\\ \mathrm{kg/h}=250000\\ \mathrm{g/h}.
  • Conversão desejada: X=0{,}65.
  • Constante de velocidade (Arrhenius): \;k=7{,}8\times10^{9}\exp\!\Big(\dfrac{-38200}{R\,T}\Big) com unidades \mathrm{s}^{-1}. Observação: o termo \dfrac{38200}{RT} usa R em unidades de \mathrm{cal/(mol\cdot K)}.
  • Massa molar de \mathrm{A}: \mathrm{MM}=134\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}.
  • Constantes fornecidas: R=1{,}987\\ \mathrm{cal/(mol\cdot K)} (para Arrhenius) e R=0{,}082\\ \mathrm{atm\cdot L/(mol\cdot K)} (para equação de gás ideal, volumétrico).

Passo 2

Converter o fluxo mássico de \mathrm{A} em fluxo molar (visto que balanços e reações usam mols).
  • Primeiro, fluxo molar por hora:
\dot{F}_{A0}=\dfrac{\dot{m}_A}{\mathrm{MM}}=\dfrac{250000\\ \mathrm{g/h}}{134\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}}=1865{,}67164179\\ \mathrm{mol/h}.
  • Converter para \mathrm{mol/s} (dividindo por 3600):
\dot{F}_{A0}=\dfrac{1865{,}67164179}{3600}=0{,}51824212\\ \mathrm{mol/s}.

Passo 3

Calcular a constante de velocidade k à temperatura dada usando a expressão de Arrhenius informada.
  • Usamos R=1{,}987\\ \mathrm{cal/(mol\cdot K)} (da constante fornecida para Arrhenius) e T=873{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Calcular o expoente:
\frac{38200}{R\,T}=\frac{38200}{1{,}987\cdot 873{,}15}=22{,}0160\\ (\text{adimensional}).
  • Então
k=7{,}8\times10^{9}\exp(-22{,}0160)=7{,}8\times10^{9}\cdot 2{,}732\times10^{-10}=2{,}1293\\ \mathrm{s^{-1}}.
(Arredondei mantendo casas significativas suficientes: k\approx 2{,}129\\ \mathrm{s^{-1}}.)

Passo 4

Expressar a concentração de \mathrm{A} na saída do reator em função de X, levando em conta a presença de inerte e a variação do número total de mols na reação gasosa.
  • Escrevendo balanços de mols (por segundo) no reator:
    • \dot{F}_A=\dot{F}_{A0}(1-X).
    • Produtos: \dot{F}_B=\dot{F}_C=\dot{F}_{A0}X.
    • Inerte: \dot{F}_I=\dot{F}_{I0} (inalterado).
  • Total de mols na saída:
\dot{F}_T=\dot{F}_A+\dot{F}_B+\dot{F}_C+\dot{F}_I=\dot{F}_{A0}(1-X)+\dot{F}_{A0}X+\dot{F}_{A0}X+\dot{F}_{I0}=\dot{F}_{A0}(1+X)+\dot{F}_{I0}.
  • Como \dot{F}_{T0}=\dot{F}_{A0}+\dot{F}_{I0} e y_{A0}=\dfrac{\dot{F}_{A0}}{\dot{F}_{T0}}, podemos eliminar \dot{F}_{I0} e obter o fração molar de \mathrm{A} na saída:
y_A=\dfrac{\dot{F}_A}{\dot{F}_T}=\dfrac{\dot{F}_{A0}(1-X)}{\dot{F}_{T0}+\dot{F}_{A0}X}=\dfrac{1-X}{\dfrac{1}{y_{A0}}+X}.
Uma forma equivalente, mais prática para cálculo:
y_A = \dfrac{y_{A0}(1-X)}{1+X\,y_{A0}}.
  • Concentração total de gás (ideal) no reator:
C_\text{tot}=\dfrac{P}{R_\text{g}}\,\dfrac{1}{T},
onde usamos R_\text{g}=0{,}082\\ \mathrm{atm\cdot L/(mol\cdot K)}. Então a concentração de \mathrm{A} na saída é
C_A = y_A\,C_\text{tot}=y_A\cdot\dfrac{P}{R_\text{g}\,T}.

Passo 5

Calcular y_A para X=0{,}65 e y_{A0}=0{,}80.
y_A=\dfrac{0{,}80\,(1-0{,}65)}{1+0{,}65\cdot 0{,}80}=\dfrac{0{,}80\cdot 0{,}35}{1+0{,}52}=\dfrac{0{,}28}{1{,}52}=0{,}1842105263.

Passo 6

Calcular C_\text{tot} e C_A numericamente.
  • Primeiro
R_\text{g}\,T=0{,}082\cdot 873{,}15=71{,}5983\\ (\mathrm{atm\cdot L/mol}).
  • Assim
C_\text{tot}=\dfrac{P}{R_\text{g}\,T}=\dfrac{4{,}00}{71{,}5983}=0{,}055866\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}.
  • Logo
C_A = y_A\,C_\text{tot}=0{,}1842105263\cdot 0{,}055866=0{,}0102946\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}.

Passo 7

Escrever a lei de velocidade e calcular a taxa de consumo volumétrica de \mathrm{A} na saída do reator.
  • Para reação de primeira ordem (a constante k tem unidades \mathrm{s^{-1}}), usamos
-r_A = k\,C_A.
  • Substituindo números:
-r_A = 2{,}1293\cdot 0{,}0102946=0{,}021918\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}\cdot s^{-1}}.

Passo 8

Equação de projeto do CSTR e cálculo do volume.
  • Balanço molar em regime estacionário para \mathrm{A} no CSTR:
\dot{F}_{A0}-\dot{F}_A+(-r_A)\,V=0 \quad\Rightarrow\quad V=\dfrac{\dot{F}_{A0}X}{-r_A}.
  • Já temos \dot{F}_{A0}=0{,}51824212\\ \mathrm{mol/s}, X=0{,}65 e -r_A=0{,}021918\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}\cdot s^{-1}}.
  • Numerador:
\dot{F}_{A0}X=0{,}51824212\cdot 0{,}65=0{,}33685738\\ \mathrm{mol/s}.
  • Volume:
V=\dfrac{0{,}33685738}{0{,}021918}=15{,}366\\ \mathrm{L}.
(Arredondando com consistência: V\approx 15{,}37\\ \mathrm{L}.)

Passo 9

Calcular o tempo médio de residência. Definição e escolha:
  • O tempo médio de residência \tau usualmente é definido como \tau=\dfrac{V}{\dot{v}_0}, onde \dot{v}_0 é a vazão volumétrica de alimentação. Vou calcular \dot{v}_0 e então \tau. Também apresento, por comparação, o \tau usando a vazão volumétrica de saída (caso você veja isso em provas — é bom saber a diferença).
  • Vazão volumétrica de alimentação (inlet):
\dot{v}_0=\dfrac{\dot{F}_{T0}\,R_\text{g}\,T}{P},
onde \dot{F}_{T0}=\dfrac{\dot{F}_{A0}}{y_{A0}}.
  • Calcular \dot{F}_{T0}:
\dot{F}_{T0}=\dfrac{0{,}51824212}{0{,}80}=0{,}64780265\\ \mathrm{mol/s}.
  • Então
\dot{v}_0=\dfrac{0{,}64780265\cdot 71{,}5983}{4{,}00}=11{,}5965\\ \mathrm{L/s}.
  • Tempo de residência usando vazão de alimentação:
\tau=\dfrac{V}{\dot{v}_0}=\dfrac{15{,}366}{11{,}5965}=1{,}324\\ \mathrm{s}.
  • Para referência, a vazão volumétrica na saída é
\dot{F}_T=\dot{F}_{T0}+\dot{F}_{A0}X=0{,}64780265+0{,}33685738=0{,}98466003\\ \mathrm{mol/s},
\dot{v}_\text{out}=\dfrac{0{,}98466003\cdot 71{,}5983}{4{,}00}=17{,}6330\\ \mathrm{L/s},
e o tempo de residência baseado na vazão de saída seria
\tau_\text{out}=\dfrac{15{,}366}{17{,}6330}=0{,}871\\ \mathrm{s}.
  • Observação prática: em exercícios de projeto de reatores, costuma-se usar \tau=V/\dot{v}_0 (vazão de alimentação) como definição padrão do tempo de residência médio. Por isso apresento \tau=1{,}324\\ \mathrm{s} como resposta principal, mas deixei também o valor alternativo para o caso de a prova pedir explícito \tau baseado na vazão de saída.

Passo 10

Breve interpretação e check rápido dos passos (motivacional amigo):
  • Resumo rápido: converti massa para mol, calculei k com Arrhenius (usei R em \mathrm{cal/(mol\cdot K)} como indicado), determinei a concentração de \mathrm{A} na saída considerando a variação de mols por reação gasosa com inerte, usei a lei de velocidade de primeira ordem e a equação de projeto do CSTR. Dá para refazer esses passos na prova sem calculadora pesada se souber fazer as conversões com calma — e você já tem o roteiro.
  • Você conseguiu: já chegamos ao volume e ao tempo de residência. Vai dar certo na prova — respira e repassa esses passos devagar.

Resposta

V=15{,}37\\ \mathrm{L}
\tau=\dfrac{V}{\dot{v}_0}=1{,}32\\ \mathrm{s}

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