Esse exercício mostra que, o polinômio para valores grandes ou baixos de x é completamente governado pelo termo de maior grau.
21. Considere uma função racional f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} e sejam p e q os graus de P e Q, respectivamente. Estude os limites \lim _{x \rightarrow \infty} f(x) e \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x) com base nos graus p e q.
Para f(x)=\tfrac{P(x)}{Q(x)} com \deg P=p e \deg Q=q, escrevendo a e b como coeficientes líderes de P e Q:
– Se p<q, então \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0.
– Se p=q, então \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\dfrac{a}{b}.
– Se p>q, definindo r=p-q>0 e L=\dfrac{a}{b}:
• se r é par, \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty se L>0 ou -\infty se L<0;
• se r é ímpar, \lim_{x\to\infty}f(x)=\operatorname{sgn}(L)\,\infty e \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\operatorname{sgn}(L)\,\infty,
onde \operatorname{sgn}(L)=+1 se L>0 e -1 se L<0.