Esse exercício mostra que, o polinômio para valores grandes ou baixos de x é completamente governado pelo termo de maior grau.
21. Considere uma função racional f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} e sejam p e q os graus de P e Q, respectivamente. Estude os limites \lim _{x \rightarrow \infty} f(x) e \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x) com base nos graus p e q.

Passo 1

O enunciado pede para estudar
\lim_{x\to\infty}f(x) \quad\text{e}\quad \lim_{x\to-\infty}f(x)
onde f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}, p=\deg P e q=\deg Q. Vamos usar o fato de que, para |x| grande, cada polinômio é dominado pelo seu termo de maior grau.

Passo 2

Sejam
P(x)=a\,x^p+\text{(termos de grau menor)},\quad a\neq0,
Q(x)=b\,x^q+\text{(termos de grau menor)},\quad b\neq0.
Para |x|\to\infty vale
f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} \sim\frac{a\,x^p}{b\,x^q} =\frac{a}{b}\,x^{\,p-q}.
A partir dessa expressão \tfrac{a}{b}\,x^{p-q} analisamos três casos em p e q.

Passo 3

Caso p<q. Então p-q<0 e x^{p-q}\to0 quando x\to\infty ou x\to-\infty. Logo
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0.

Passo 4

Caso p=q. Aqui p-q=0 e x^{p-q}=1. Assim
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\frac{a}{b}.

Passo 5

Caso p>q\). Defina \(r=p-q>0\) e \(L=\tfrac{a}{b}\). Então \[f(x)\sim L\,x^r \quad\text{para grandes \(|x|\).}
Se r é par, x^r\to+\infty em ambas as direções, de modo que
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)= \begin{cases} +\infty,&\text{se }L>0,\\\\ -\infty,&\text{se }L<0. \end{cases}
Se r\] é ímpar, \(x^r\to+\infty para x\to\infty e x^r\to-\infty para x\to-\infty, daí
\lim_{x\to\infty}f(x)= \begin{cases} +\infty,&\text{se }L>0,\\\\ -\infty,&\text{se }L<0, \end{cases} \quad \lim_{x\to-\infty}f(x)= \begin{cases} -\infty,&\text{se }L>0,\\\\ +\infty,&\text{se }L<0. \end{cases}

Resposta

Para f(x)=\tfrac{P(x)}{Q(x)} com \deg P=p e \deg Q=q, escrevendo a e b como coeficientes líderes de P e Q:
– Se p<q, então \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0.
– Se p=q, então \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\dfrac{a}{b}.
– Se p>q, definindo r=p-q>0 e L=\dfrac{a}{b}:
 • se r é par, \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty se L>0 ou -\infty se L<0;
 • se r é ímpar, \lim_{x\to\infty}f(x)=\operatorname{sgn}(L)\,\infty e \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\operatorname{sgn}(L)\,\infty,
onde \operatorname{sgn}(L)=+1 se L>0 e -1 se L<0.

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