Exercício 4. Mostre que, no espaço de Banach
, as normas
são equivalentes. Justifique que o mesmo resultado não é válido em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, no espaço de Sobolev com condição de contorno nula
, as duas normas
são equivalentes. Ou seja, existem constantes
tais que
Para isso vamos usar a desigualdade de Poincaré. Depois, justificamos por que essa equivalência falha em
.
Passo 2
Mostramos primeiro a desigualdade trivial
Passo 3
Como
, vale a desigualdade de Poincaré: existe constante
(depende de
e de
) tal que
Logo
Isso mostra a outra desigualdade
com
. Assim as normas são equivalentes em
.
Passo 4
Em
sem impor
, a quantidade
deixa de ser norma (é apenas seminorma): funções constantes têm gradiente zero mas não são zero no
. Por exemplo, defina
. Então
Isto impede qualquer desigualdade do tipo
, logo
e
não são equivalentes em
.
Resposta
As normas
e
são equivalentes em
graças à desigualdade de Poincaré, mas não são equivalentes em
porque ali
não detecta funções constantes.