Exercício 4. Mostre que, no espaço de Banach W0^1, p(Omega), as normas
|u|1:=(|u|L^p(Omega)^p+|nabla u|L^p(Omega)^p)^1 / p e |u|2:=|nabla u|L^p(Omega)
são equivalentes. Justifique que o mesmo resultado não é válido em W^1, p(Omega).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, no espaço de Sobolev com condição de contorno nula ,W0^1,p(Omega), as duas normas
|u|1:=l(|u|L^p(Omega)^p+|nabla u|L^p(Omega)^pr)^1/p e |u|2:=|nabla u|L^p(Omega)
são equivalentes. Ou seja, existem constantes C1,C2>0 tais que
C1,|u|2<=|u|1<= C2,|u|2 forall,uin W0^1,p(Omega)
Para isso vamos usar a desigualdade de Poincaré. Depois, justificamos por que essa equivalência falha em W^1,p(Omega).

Passo 2

Mostramos primeiro a desigualdade trivial
|u|2=|nabla u|L^p(Omega) ;<=; l(|u|L^p(Omega)^p+|nabla u|L^p(Omega)^pr)^1/p =|u|1

Passo 3

Como uin W0^1,p(Omega), vale a desigualdade de Poincaré: existe constante CP>0 (depende de Omega e de p) tal que
|u|L^p(Omega)<= CP,|nabla u|L^p(Omega)
Logo
|u|1 =l(|u|L^p^p+|nabla u|L^p^pr)^1/p <=l(CP^p,|nabla u|L^p^p+|nabla u|L^p^pr)^1/p =(1+CP^p)^1/p,|u|2
Isso mostra a outra desigualdade |u|1<= C2,|u|2 com C2=(1+CP^p)^1/p. Assim as normas são equivalentes em W0^1,p(Omega).

Passo 4

Em W^1,p(Omega) sem impor u|partialOmega=0, a quantidade |nabla u|L^p deixa de ser norma (é apenas seminorma): funções constantes têm gradiente zero mas não são zero no L^p. Por exemplo, defina un(x)equiv 1. Então
|un|2=|nabla un|L^p=0, |un|1=|un|L^p=|Omega|^1/p>0
Isto impede qualquer desigualdade do tipo C1|u|2<=|u|1, logo |cdot|1 e |cdot|2 não são equivalentes em W^1,p(Omega).

Resposta

As normas |cdot|1 e |cdot|2 são equivalentes em W0^1,p(Omega) graças à desigualdade de Poincaré, mas não são equivalentes em W^1,p(Omega) porque ali |nabla u|L^p não detecta funções constantes.

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