5.4H Determine um fator integrante para cada uma das edo’s abaixo e em seguida encontre a solução geral de cada uma delas:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
que não é exata à primeira vista. O conteúdo aqui é “equações diferenciais exatas” e “fator integrante”. Vamos testar exatidão e, se necessário, buscar um fator integrante que dependa só de
ou só de
.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a eq. não é exata.
Passo 3
Para achar um fator integrante
que dependa só de
ou só de
, usamos as razões
Calculamos
que depende apenas de
. Logo existe
tal que
Passo 4
Integramos para encontrar
:
Passo 5
Multiplicamos a eq. original por
, obtendo
com
Verificamos a exatidão:
portanto a eq. é exata.
Passo 6
Buscamos
tal que
Integramos em
:
Agora impomos
logo
Então
Passo 7
A solução geral implícita é
Podemos multiplicar tudo por 2 e reescrever
onde
é constante arbitrária.