5.4H Determine um fator integrante para cada uma das edo’s abaixo e em seguida encontre a solução geral de cada uma delas:
x y d y+(x^2+2 y^2+2) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
x,y,dx + l(x^2 + 2y^2 + 2r),dy = 0
que não é exata à primeira vista. O conteúdo aqui é “equações diferenciais exatas” e “fator integrante”. Vamos testar exatidão e, se necessário, buscar um fator integrante que dependa só de x ou só de y.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = x,y, N(x,y) = x^2 + 2y^2 + 2
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = x, partial Npartial x = 2x
Como partial M/partial y neq partial N/partial x, a eq. não é exata.

Passo 3

Para achar um fator integrante mu que dependa só de x ou só de y, usamos as razões
partial N/partial x - partial M/partial yM e partial M/partial y - partial N/partial xN
Calculamos
2x - xx,y = xx,y = 1y,
que depende apenas de y. Logo existe mu(y) tal que
dmudy/mu = 1y

Passo 4

Integramos para encontrar mu(y):
dmumu = 1y,dy Longrightarrow lnmu = ln y + C Longrightarrow mu(y) = y

Passo 5

Multiplicamos a eq. original por mu(y)=y, obtendo
M^*(x,y),dx + N^*(x,y),dy = 0
com
M^* = x,y^2, N^* = y,(x^2 + 2y^2 + 2) = x^2y + 2y^3 + 2y
Verificamos a exatidão:
partial M^*partial y = 2x,y, partial N^*partial x = 2x,y,
portanto a eq. é exata.

Passo 6

Buscamos Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x = M^* = x,y^2
Integramos em x:
Psi(x,y) = integral x,y^2,dx = tfrac12x^2y^2 + h(y)
Agora impomos
partial Psipartial y = x^2y + h'(y) stackrel!= N^* = x^2y + 2y^3 + 2y,
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h'(y) = 2y^3 + 2y Longrightarrow h(y) = tfrac12y^4 + y^2
Então
Psi(x,y) = tfrac12x^2y^2 + tfrac12y^4 + y^2

Passo 7

A solução geral implícita é
Psi(x,y) = C Longrightarrow tfrac12x^2y^2 + tfrac12y^4 + y^2 = C
Podemos multiplicar tudo por 2 e reescrever
y^2,(x^2 + y^2 + 2) = C',
onde C'=2C é constante arbitrária.

Resposta

y^2,(x^2 + y^2 + 2) = C

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