Exercício 3.8.1. Mostre que:
integral0^1 x ln (x) d x=-14

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
integral0^1 xln(x),dx = -tfrac14
Vamos usar o método de integração por partes e, em seguida, cuidar do limite de x^2ln(x) quando xto 0^+.

Passo 2

Escolhemos
u = ln(x), dv = x,dx
Então
du = dxx, v = x^22
Pela fórmula de integração por partes,
integral u,dv = uv - integral v,du,
temos
integral xln(x),dx = x^22ln(x) - integral x^22cdotdxx = x^22ln(x) - integral x2,dx = x^22ln(x) - x^24 + C

Passo 3

Avaliamo de 0 a 1:
[x^22ln(x) - x^24]0^1 = l(tfrac12ln(1)-tfrac14r) - limxto 0^+l(tfracx^22ln(x)-tfracx^24r)
Como ln(1)=0 e x^2ln(x)to 0 quando xto0^+, o segundo termo é zero. Logo
integral0^1xln(x),dx = -tfrac14

Resposta

-tfrac14

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