Exercício 1. Mostre que as seguintes igualdades valem:
\int \operatorname{cossec}^{2}(x) d x=-\operatorname{cotg}(x)+k.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a seguinte igualdade é verdadeira:
\int \operatorname{cossec}^{2}(x)\,dx = -\operatorname{cotg}(x) + k.
Informações dadas e observações úteis (tirei estas definições das funções trigonométricas básicas):
  • \operatorname{cossec}(x)=\dfrac{1}{\sin x} (cosecante).
  • \operatorname{cotg}(x)=\dfrac{\cos x}{\sin x} (cotangente).
  • As operações com essas funções são válidas quando \sin x \neq 0 (pontos onde as funções não estão definidas não entram no cálculo direto).

Passo 2

Estratégia básica: mostrar que a derivada de \operatorname{cotg}(x) é -\operatorname{cossec}^{2}(x). Se isso for verdade, então pela regra inversa da diferenciação (antiderivação) segue imediatamente que a integral pedida é -\operatorname{cotg}(x)+k. Vou calcular a derivada de \operatorname{cotg}(x) passo a passo usando a regra do quociente.

Passo 3

Cálculo da derivada de \operatorname{cotg}(x).
Começo escrevendo a cotangente como quociente:
\operatorname{cotg}(x)=\frac{\cos x}{\sin x}.
Usando a regra do quociente: se h(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} então
h'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}.
Aqui u(x)=\cos x e v(x)=\sin x. Então u'(x)=-\sin x e v'(x)=\cos x. Substituindo:
\frac{d}{dx}\operatorname{cotg}(x) = \frac{(-\sin x)\cdot(\sin x) - (\cos x)\cdot(\cos x)}{\sin^2 x}.
Calculando o numerador:
(-\sin x)\sin x - \cos x\cos x = -\sin^2 x - \cos^2 x = -(\sin^2 x+\cos^2 x).
Usando a identidade trigonométrica \sin^2 x+\cos^2 x=1, obtemos
\frac{d}{dx}\operatorname{cotg}(x) = \frac{-1}{\sin^2 x} = -\frac{1}{\sin^2 x}.
Mas \dfrac{1}{\sin^2 x} = \operatorname{cossec}^2(x). Portanto
\frac{d}{dx}\operatorname{cotg}(x) = -\operatorname{cossec}^2(x).

Passo 4

Concluir a integral a partir da derivada encontrada.
Como \dfrac{d}{dx}\operatorname{cotg}(x) = -\operatorname{cossec}^2(x), podemos escrever
\operatorname{cossec}^2(x)\,dx = -\,d\big(\operatorname{cotg}(x)\big).
Integrando ambos os lados:
\int \operatorname{cossec}^2(x)\,dx = -\int d\big(\operatorname{cotg}(x)\big) = -\operatorname{cotg}(x) + k,
onde k é a constante de integração. (Isto é exatamente a consequência da propriedade que a integral de uma derivada é a função original mais constante.)

Resposta

\displaystyle \int \operatorname{cossec}^{2}(x)\,dx=-\operatorname{cotg}(x)+k

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