Exercício 1. Mostre que as seguintes igualdades valem:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a seguinte igualdade é verdadeira:
Informações dadas e observações úteis (tirei estas definições das funções trigonométricas básicas):
-
(cosecante). -
(cotangente). - As operações com essas funções são válidas quando
(pontos onde as funções não estão definidas não entram no cálculo direto).
Passo 2
Estratégia básica: mostrar que a derivada de
é
. Se isso for verdade, então pela regra inversa da diferenciação (antiderivação) segue imediatamente que a integral pedida é
. Vou calcular a derivada de
passo a passo usando a regra do quociente.
Passo 3
Cálculo da derivada de
.
Começo escrevendo a cotangente como quociente:
Começo escrevendo a cotangente como quociente:
Usando a regra do quociente: se
então
Aqui
e
. Então
e
. Substituindo:
Calculando o numerador:
Usando a identidade trigonométrica
, obtemos
Mas
. Portanto
Passo 4
Concluir a integral a partir da derivada encontrada.
Como , podemos escrever
Como
Integrando ambos os lados:
onde
é a constante de integração. (Isto é exatamente a consequência da propriedade que a integral de uma derivada é a função original mais constante.)