Exercício 2 Mostre que as seguintes séries são divergentes
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{n}}{n}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{n}}{n}
é divergente. Informação dada: o termo geral da série é \displaystyle a_n=\frac{e^{n}}{n}. Não há outras condições ocultas — só precisamos decidir um teste de convergência e aplicá‑lo.

Passo 2

Vamos usar um teste muito simples e poderoso: o teste do termo geral (ou “nth-term test”). Ele diz o seguinte:
\text{Se } \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 \text{ (incluindo }+\infty\text{)}, \text{ então } \sum a_n \text{ diverge.}ã
Explicando de forma prática: para uma série somada de infinitos termos fazer sentido (convergir), o termo individual a_n precisa tender a zero quando n\to\infty. Se não tender a zero, não tem como a soma estabilizar — simples assim. Então nosso objetivo será mostrar que \lim_{n\to\infty} a_n não é zero (na verdade é +\infty).

Passo 3

Defino o termo geral
a_n=\frac{e^{n}}{n}.
Calculo a razão entre termos consecutivos para entender o comportamento da sequência (a_n):
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{e^{\,n+1}/(n+1)}{e^{n}/n}=e\cdot\frac{n}{n+1}.

Passo 4

Agora faço o limite da razão:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=e\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=e\cdot 1=e.
Como e>1, isso nos diz que, a razão entre termos consecutivos tende a um número maior que 1. Intuitivamente, os termos crescem de forma exponencial (não decrescem para zero).

Passo 5

Para ser mais rigoroso: escolha um número r com 1<r<e. Como \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\to e, existe N tal que para todo n\ge N vale \dfrac{a_{n+1}}{a_n}>r. Assim, para k\ge0,
a_{N+k} > a_N \, r^{\,k}.
Mas r^{k}\to\infty quando k\to\infty, logo a_{N+k}\to\infty. Isso implica que
\lim_{n\to\infty} a_n = +\infty,
em particular \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0.

Passo 6

Aplicando o teste do termo geral: como o termo geral \displaystyle a_n=\frac{e^{n}}{n} não tende a zero (tende a +\infty), a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{n}}{n} não pode convergir. Portanto a série diverge.

Resposta

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{n}}{n} é divergente.

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