Exercício 2 Mostre que as seguintes séries são divergentes
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série
é divergente. Informação dada: o termo geral da série é
. Não há outras condições ocultas — só precisamos decidir um teste de convergência e aplicá‑lo.
Passo 2
Vamos usar um teste muito simples e poderoso: o teste do termo geral (ou “nth-term test”). Ele diz o seguinte:
Explicando de forma prática: para uma série somada de infinitos termos fazer sentido (convergir), o termo individual
precisa tender a zero quando
. Se não tender a zero, não tem como a soma estabilizar — simples assim. Então nosso objetivo será mostrar que
não é zero (na verdade é
).
Passo 3
Defino o termo geral
Calculo a razão entre termos consecutivos para entender o comportamento da sequência
:
Passo 4
Agora faço o limite da razão:
Como
, isso nos diz que, a razão entre termos consecutivos tende a um número maior que
. Intuitivamente, os termos crescem de forma exponencial (não decrescem para zero).
Passo 5
Para ser mais rigoroso: escolha um número
com
. Como
, existe
tal que para todo
vale
. Assim, para
,
Mas
quando
, logo
. Isso implica que
em particular
.
Passo 6
Aplicando o teste do termo geral: como o termo geral
não tende a zero (tende a
), a série
não pode convergir. Portanto a série diverge.