Calcule os 5 primeiros termos da sequência das somas parciais da série. Encontre uma fórmula para a
-ésima soma parcial da série. Determina se a série converge ou diverge
, se convergir, encontre a soma
.
Passo 1
O enunciado pede três coisas: (i) calcular os 5 primeiros termos da sequência das somas parciais da série
; (ii) encontrar uma fórmula para a
-ésima soma parcial; (iii) determinar se a série converge ou diverge e, se convergir, dar a soma
.
Informações relevantes dadas: a série é . Não há outros dados numéricos adicionais. A sequência das somas parciais é definida por
.
Informações relevantes dadas: a série é
Passo 2
Vamos calcular explicitamente as cinco primeiras somas parciais uma a uma. Para evitar erro, vou mostrar a forma fracionária exata e também a aproximação decimal (usando vírgula como separador decimal).
-
Em decimal: . -
Em decimal: . -
Para somar: coloque em denominador comum : entãoEm decimal:. -
Denominador comum : entãoEm decimal:. -
Como e são primos entre si, denominador comum : entãoEm decimal:.
Passo 3
Agora proponho uma fórmula compacta para a
-ésima soma parcial. Definimos os números harmônicos generalizados de ordem
por
No nosso caso
, portanto a
-ésima soma parcial é
Isto é a fórmula pedida: escrever a soma parcial como um somatório finito ou reconhecer como o número harmônico generalizado de ordem
.
Passo 4
Agora vamos determinar se a série converge ou diverge. Uma ferramenta rápida para séries do tipo
é o teste da série
(ou podemos usar o teste da integral). Vou explicar o raciocínio do teste da integral de forma didática.
Considere a função
. Essa função é positiva e monotonicamente decrescente para
. O teste da integral diz que a série
converge se, e somente se, a integral imprópria
convergir. Calculamos:
que é finita. Logo a série converge. Esse resultado coincide com o teste
: a série
converge se
; aqui
.
Passo 5
Além de provar convergência, é útil saber que se trata de uma série positiva e convergente, então ela converge absolutamente (toda série de termos positivos convergente é absolutamente convergente por definição). Para estimar o erro ao truncar em
(útil na prova e na prova praticamente), usamos o fato padrão do teste da integral: para
decrescente positiva,
No nosso caso
, então
Isto fornece um modo prático de estimar quanto falta para chegar à soma verdadeira ao usar
.
Passo 6
Vamos aplicar a estimativa do passo anterior com
para ver onde está a soma verdadeira
. Com
:
Portanto
ou seja
Isso já nos dá uma boa localização numérica da soma.
Passo 7
Qual é a soma exata? A soma da série
é conhecida na teoria das funções especiais como
, onde
é a função zeta de Riemann:
Esse valor numérico é aproximadamente
Observação extra (útil para contexto de prova, mas não necessária para cálculo básico): o número
é chamado constante de Apéry e foi provado por Apéry ser irracional.