Calcule os 5 primeiros termos da sequência das somas parciais da série. Encontre uma fórmula para a n-ésima soma parcial da série. Determina se a série converge ou diverge e, se convergir, encontre a soma s.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (i) calcular os 5 primeiros termos da sequência das somas parciais da série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}}; (ii) encontrar uma fórmula para a n-ésima soma parcial; (iii) determinar se a série converge ou diverge e, se convergir, dar a soma s.
Informações relevantes dadas: a série é \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}}. Não há outros dados numéricos adicionais. A sequência das somas parciais é definida por \displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{3}}.

Passo 2

Vamos calcular explicitamente as cinco primeiras somas parciais uma a uma. Para evitar erro, vou mostrar a forma fracionária exata e também a aproximação decimal (usando vírgula como separador decimal).
  • \displaystyle S_{1}=\sum_{k=1}^{1}\frac{1}{k^{3}}=\frac{1}{1^{3}}=\frac{1}{1}. Em decimal: \displaystyle S_{1}=1.
  • \displaystyle S_{2}=S_{1}+\frac{1}{2^{3}}=1+\frac{1}{8}=\frac{9}{8}. Em decimal: \displaystyle S_{2}=1,125.
  • \displaystyle S_{3}=S_{2}+\frac{1}{3^{3}}=\frac{9}{8}+\frac{1}{27}. Para somar: coloque em denominador comum 216:
    \frac{9}{8}=\frac{243}{216},\qquad \frac{1}{27}=\frac{8}{216},
    então
    \displaystyle S_{3}=\frac{243+8}{216}=\frac{251}{216}.
    Em decimal: \displaystyle S_{3}\approx1,162037037.
  • \displaystyle S_{4}=S_{3}+\frac{1}{4^{3}}=\frac{251}{216}+\frac{1}{64}. Denominador comum 1728:
    \frac{251}{216}=\frac{2008}{1728},\qquad \frac{1}{64}=\frac{27}{1728},
    então
    \displaystyle S_{4}=\frac{2008+27}{1728}=\frac{2035}{1728}.
    Em decimal: \displaystyle S_{4}\approx1,177662037.
  • \displaystyle S_{5}=S_{4}+\frac{1}{5^{3}}=\frac{2035}{1728}+\frac{1}{125}. Como 1728 e 125 são primos entre si, denominador comum 1728\cdot125=216000:
    \frac{2035}{1728}=\frac{254375}{216000},\qquad \frac{1}{125}=\frac{1728}{216000},
    então
    \displaystyle S_{5}=\frac{254375+1728}{216000}=\frac{256103}{216000}.
    Em decimal: \displaystyle S_{5}\approx1,185662037.

Passo 3

Agora proponho uma fórmula compacta para a n-ésima soma parcial. Definimos os números harmônicos generalizados de ordem m por
\displaystyle H_{n}^{(m)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{m}}.
No nosso caso m=3, portanto a n-ésima soma parcial é
\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{3}}=H_{n}^{(3)}.
Isto é a fórmula pedida: escrever a soma parcial como um somatório finito ou reconhecer como o número harmônico generalizado de ordem 3.

Passo 4

Agora vamos determinar se a série converge ou diverge. Uma ferramenta rápida para séries do tipo \displaystyle \sum \frac{1}{n^{p}} é o teste da série p (ou podemos usar o teste da integral). Vou explicar o raciocínio do teste da integral de forma didática.
Considere a função f(x)=x^{-3}=\frac{1}{x^{3}}. Essa função é positiva e monotonicamente decrescente para x\ge1. O teste da integral diz que a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}f(n) converge se, e somente se, a integral imprópria \displaystyle \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx convergir. Calculamos:
\displaystyle \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{3}}\,dx=\left[\,-\frac{1}{2x^{2}}\,\right]_{1}^{\infty}=0-\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2},
que é finita. Logo a série converge. Esse resultado coincide com o teste p: a série \displaystyle \sum \frac{1}{n^{p}} converge se p>1; aqui p=3>1.

Passo 5

Além de provar convergência, é útil saber que se trata de uma série positiva e convergente, então ela converge absolutamente (toda série de termos positivos convergente é absolutamente convergente por definição). Para estimar o erro ao truncar em S_{n} (útil na prova e na prova praticamente), usamos o fato padrão do teste da integral: para f decrescente positiva,
\displaystyle \int_{n+1}^{\infty} f(x)\,dx \le R_{n}:=s-S_{n} \le \int_{n}^{\infty} f(x)\,dx.
No nosso caso f(x)=x^{-3}, então
\displaystyle \frac{1}{2(n+1)^{2}} \le s-S_{n} \le \frac{1}{2n^{2}}.
Isto fornece um modo prático de estimar quanto falta para chegar à soma verdadeira ao usar S_{n}.

Passo 6

Vamos aplicar a estimativa do passo anterior com n=5 para ver onde está a soma verdadeira s. Com S_{5}\approx1,185662037:
\displaystyle \frac{1}{2(5+1)^{2}}=\frac{1}{72}\approx0,013888889,\qquad \frac{1}{2\cdot5^{2}}=\frac{1}{50}=0,02.
Portanto
\displaystyle S_{5}+\frac{1}{72}\le s\le S_{5}+\frac{1}{50},
ou seja
\displaystyle 1,199550926\lesssim s\lesssim1,205662037.
Isso já nos dá uma boa localização numérica da soma.

Passo 7

Qual é a soma exata? A soma da série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}} é conhecida na teoria das funções especiais como \zeta(3), onde \zeta é a função zeta de Riemann:
\displaystyle s=\zeta(3)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}}.
Esse valor numérico é aproximadamente
\displaystyle \zeta(3)\approx1,202056\;.
Observação extra (útil para contexto de prova, mas não necessária para cálculo básico): o número \zeta(3) é chamado constante de Apéry e foi provado por Apéry ser irracional.

Resposta

\displaystyle S_{1}=1,\quad S_{2}=\frac{9}{8}=1,125,\quad S_{3}=\frac{251}{216}\approx1,162037037,\quad S_{4}=\frac{2035}{1728}\approx1,177662037,\quad S_{5}=\frac{256103}{216000}\approx1,185662037
\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{3}}=H_{n}^{(3)}
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}} converge (série p com p=3>1; teste da integral)
\displaystyle s=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}}=\zeta(3)\approx1,202056

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