EXERCICIO 1) Mostre que a unidade de \rho pode ser escrita em termos de \Omega e m. Faça todos os cálculos detalhadamente.
Sugestões:
I=\int_{S} \vec{J} \cdot d \vec{a}, \vec{J}=\sigma \vec{E}, V=R I, a unidade de R é o \Omega, V(\overrightarrow{\mathrm{r}})=-\int_{O}^{\mathrm{r}} \overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot d \overrightarrow{\mathrm{l}},

Passo 1

O que o problema pede: mostrar que a unidade de \rho (resistividade elétrica) pode ser escrita em termos de \Omega e \mathrm{m}.
Informações e relações fornecidas / úteis (peguei-as do enunciado e conhecimentos padrão):
  • \displaystyle I=\int_{S}\vec{J}\cdot d\vec{a}.
  • \displaystyle \vec{J}=\sigma\vec{E}, onde \sigma é a condutividade elétrica.
  • Relação entre condutividade e resistividade: \displaystyle \sigma=\frac{1}{\rho} (definição padrão).
  • Lei de Ohm para um condutor: \displaystyle V=R\,I.
  • Potencial elétrico em termos do campo: \displaystyle V(\vec{r})=-\int_{O}^{\vec{r}}\vec{E}\cdot d\vec{l}.
  • Unidades conhecidas: corrente elétrica I tem unidade \mathrm{A} (ampère), tensão V tem unidade \mathrm{V} (volt), resistência R tem unidade \Omega (ohm), comprimento tem unidade \mathrm{m}.
Não vou resolver ainda; só organizei tudo que vamos precisar.

Passo 2

Raciocínio direto a partir de \vec{J}=\sigma\vec{E} e \sigma=1/\rho.
Explicação das unidades de E e \vec{J}:
  • O campo elétrico \vec{E} é a queda de potencial por unidade de comprimento. Logo sua unidade é volt por metro: \mathrm{units}(\vec{E})=\mathrm{V}\,\mathrm{m}^{-1}.
  • A densidade de corrente \vec{J} é corrente por área. Da definição I=\int_S\vec{J}\cdot d\vec{a} vem que \mathrm{units}(\vec{J})=\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{-2}.
Usando \vec{J}=\sigma\vec{E} temos \sigma=\dfrac{J}{E}. Agora calculamos as unidades de \sigma:
\mathrm{units}(\sigma)=\frac{\mathrm{units}(\vec{J})}{\mathrm{units}(\vec{E})} =\frac{\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{-2}}{\mathrm{V}\,\mathrm{m}^{-1}} =\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{V}\,\mathrm{m}}.
Essa é a unidade da condutividade (siemens por metro), normalmente escrita \mathrm{S}\,\mathrm{m}^{-1}. Agora como \sigma=\dfrac{1}{\rho}, segue que
\mathrm{units}(\rho)=\frac{1}{\mathrm{units}(\sigma)} =\frac{\mathrm{V}\,\mathrm{m}}{\mathrm{A}}.

Passo 3

Interpretação final e reconhecimento de \Omega.
Lembra que a unidade de resistência \Omega é definida por \Omega=\dfrac{\mathrm{V}}{\mathrm{A}} (porque R=V/I). Substituindo isso na expressão anterior:
\mathrm{units}(\rho)=\frac{\mathrm{V}\,\mathrm{m}}{\mathrm{A}} =\left(\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{A}}\right)\mathrm{m}=\Omega\cdot\mathrm{m}.
Portanto a unidade de \rho é \Omega\cdot\mathrm{m}.

Passo 4

Derivação alternativa (útil para a prova): partir da fórmula macroscópica R=\dfrac{\rho L}{A} para um condutor uniforme de comprimento L e área de seção A.
Mostrando essa fórmula rapidamente:
  • Para condutor uniforme e campo \vec{E} constante ao longo do comprimento L, a diferença de potencial é V=E\,L.
  • A corrente é I=J\,A.
  • Usando J=\sigma E e \sigma=1/\rho:
I=J A=\sigma E A=\frac{E A}{\rho}.
Logo
R=\frac{V}{I}=\frac{E L}{(E A)/\rho}=\frac{\rho L}{A}.
Pegando unidades em R=\rho L/A obtemos
\mathrm{units}(\rho)=\mathrm{units}(R)\frac{\mathrm{units}(A)}{\mathrm{units}(L)} =\Omega\cdot\frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{m}}=\Omega\cdot\mathrm{m},
confirmando o resultado anterior.

Passo 5

Resumo didático e dica de prova
  • Método mais curto: \rho=\dfrac{E}{J} ⇒ unidades \dfrac{\mathrm{V/m}}{\mathrm{A/m^2}}=\dfrac{\mathrm{V}\cdot\mathrm{m}}{\mathrm{A}}=\Omega\cdot\mathrm{m}.
  • Método físico (bom para justificar em prova): derive R=\rho L/A e faça análise dimensional.
  • Lembre: condutividade \sigma tem unidade \mathrm{S}\,\mathrm{m}^{-1}=\mathrm{A}\,(\mathrm{V}^{-1}\mathrm{m}^{-1}) e \rho=1/\sigma implica \rho em \Omega\cdot\mathrm{m}.
Força aí — tá feito e simples de decorar!

Resposta

\Omega\cdot\mathrm{m}

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