- [2,0 pontos] Um circuito RC, cuja entrada é a tensão aplicada
e a saída a tensão
no resistor, é descrito pela equação diferencial a seguir. Considerando
e
, pede-se: (a) determine a resposta em frequência do sistema; (b) discorra se o sistema é do tipo passa-baixa ou passa-alta; (c) determine a resposta ao impulso do sistema; (d) encontre a saída do sistema para a entrada
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. (Peguei da sua descrição: entrada
, saída
é a tensão no resistor, e estão dadas as constantes
e
.) O enunciado pede:
- (a) determinar a resposta em frequência do sistema;
- (b) dizer se o sistema é passa-baixa ou passa-alta;
- (c) determinar a resposta ao impulso do sistema;
- (d) encontrar a saída do sistema para a entrada
(nota: a expressão de não foi enviada no enunciado que recebi).
Informações relevantes dadas:
- Circuito série resistor-capacitor com entrada aplicada no conjunto série e saída tomada sobre o resistor (isso foi especificado).
- Valores:
, . - A equação diferencial não veio explícita no texto que você mandou, mas com a descrição do circuito (entrada sobre série R–C e saída no resistor) é possível deduzir a equação diferencial do sistema — vou fazer isso a seguir.
Passo 2
Montar a equação diferencial (passo a passo, com a física elétrica por trás):
- Num circuito série R–C, a corrente
é a mesma no resistor e no capacitor. - Tensão no resistor:
. Como , . - Tensão no capacitor:
. Com , . - Relação entre corrente e tensão do capacitor (forma diferencial):
. Com , . - A entrada
é a soma das tensões em R e C (KVL): . - Como a saída é
e , escrevemos . - Substituindo
na expressão anterior: - Desenvolvendo:
- Reorganizando para colocar termos de
de um lado:
Essa é a equação diferencial do sistema com
. Ela será a base para as próximas partes.
Passo 3
Determinar a resposta em frequência (transfer function). Vou trabalhar com a transformada de Laplace (ou símbolo
) assumindo condições iniciais nulas — isso é padrão para achar a função de transferência.
- Tomando Laplace na equação
e usando e (condições iniciais nulas), obtemos: - Fatorando
: - A função de transferência
é então - A resposta em frequência é obtida substituindo
: - Magnitude e fase (úteis para interpretar o comportamento):
Passo 4
Decidir se é passa-baixa ou passa-alta — interpretação física usando
:
- Avaliando em
(DC): . Ganho em DC é zero. - Avaliando em
: (ganho unidade para altas frequências). - Portanto o circuito rejeita componentes de baixa frequência (ganho zero em
) e permite altas frequências (ganho tende a 1). Logo é um filtro passa-alta. - Frequência de corte (ponto
) ocorre quando . Com isso acontece em (rad/s), que em Hz é .
Passo 5
Determinar a resposta ao impulso
(inversa de
):
- Temos
. Faço a divisão parcial (ou manipulação algébrica): - Na transformação inversa de Laplace:
-
no domínio de corresponde a (impulso). -
corresponde a .
-
- Portanto a resposta ao impulso causal é
Explicação intuitiva: o termo
representa a resposta instantânea do resistor (alta frequência), enquanto o
é a componente que cancela parte da energia de baixa frequência, resultando no comportamento passa-alta.
Passo 6
Encontrar a saída para uma entrada
— abordagem geral (convolução) e observação sobre o seu enunciado.
- A saída é a convolução da entrada com
: - Usando
, a convolução simplifica (propriedade do delta): (a integral de convolução tem limite de a por causa do — sistema causal.) - Observação importante: você deixou a expressão de
incompleta no enunciado que me enviou. Por isso não é possível calcular um numérico/específico sem saber qual é . - Se quiser, posso aplicar a fórmula acima a qualquer
que você me der (por exemplo , , , etc.) e calcular explicitamente. Abaixo dou rapidamente dois exemplos ilustrativos: - Se
, então . - Se
(degrau unitário), então ou seja para essa entrada (exemplo útil para ver o comportamento transitório).
- Se
Resposta
(a)
.
(b) O sistema é passa-alta (ganho em
, tende a
quando
; frequência de corte
rad/s).
(c) .
(d) A expressão geral da saída é . Não é possível calcular uma saída numérica específica porque a expressão de
não foi fornecida.
(b) O sistema é passa-alta (ganho
(c)
(d) A expressão geral da saída é