1. [2,0 pontos] Um circuito RC, cuja entrada é a tensão aplicada x(t) e a saída a tensão y(t) no resistor, é descrito pela equação diferencial a seguir. Considerando R=1 \Omega e C=1 \mathrm{~F}, pede-se: (a) determine a resposta em frequência do sistema; (b) discorra se o sistema é do tipo passa-baixa ou passa-alta; (c) determine a resposta ao impulso do sistema; (d) encontre a saída do sistema para a entrada x(t)=

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. (Peguei da sua descrição: entrada x(t), saída y(t) é a tensão no resistor, e estão dadas as constantes R=1\\ \Omega e C=1\\ \mathrm{F}.) O enunciado pede:
  • (a) determinar a resposta em frequência do sistema;
  • (b) dizer se o sistema é passa-baixa ou passa-alta;
  • (c) determinar a resposta ao impulso do sistema;
  • (d) encontrar a saída do sistema para a entrada x(t)= (nota: a expressão de x(t) não foi enviada no enunciado que recebi).
Informações relevantes dadas:
  • Circuito série resistor-capacitor com entrada aplicada no conjunto série e saída tomada sobre o resistor (isso foi especificado).
  • Valores: R=1, C=1.
  • A equação diferencial não veio explícita no texto que você mandou, mas com a descrição do circuito (entrada sobre série R–C e saída no resistor) é possível deduzir a equação diferencial do sistema — vou fazer isso a seguir.

Passo 2

Montar a equação diferencial (passo a passo, com a física elétrica por trás):
  • Num circuito série R–C, a corrente i(t) é a mesma no resistor e no capacitor.
  • Tensão no resistor: v_R(t)=R\,i(t). Como R=1, v_R(t)=i(t).
  • Tensão no capacitor: v_C(t)=\dfrac{1}{C}\displaystyle\int_{-\infty}^{t} i(\tau)\,d\tau. Com C=1, v_C(t)=\displaystyle\int_{-\infty}^{t} i(\tau)\,d\tau.
  • Relação entre corrente e tensão do capacitor (forma diferencial): i(t)=C\,\dfrac{d v_C}{dt}. Com C=1, i(t)=\dfrac{d v_C}{dt}.
  • A entrada x(t) é a soma das tensões em R e C (KVL): x(t)=v_R(t)+v_C(t).
  • Como a saída é y(t)=v_R(t)=i(t) e i(t)=\dfrac{d v_C}{dt}, escrevemos y(t)=\dfrac{d}{dt}v_C(t).
  • Substituindo v_C(t)=x(t)-v_R(t)=x(t)-y(t) na expressão anterior: y(t)=\frac{d}{dt}\bigl(x(t)-y(t)\bigr).
  • Desenvolvendo: y(t)=x'(t)-y'(t).
  • Reorganizando para colocar termos de y de um lado: y'(t)+y(t)=x'(t).
Essa é a equação diferencial do sistema com R=C=1. Ela será a base para as próximas partes.

Passo 3

Determinar a resposta em frequência (transfer function). Vou trabalhar com a transformada de Laplace (ou símbolo s) assumindo condições iniciais nulas — isso é padrão para achar a função de transferência.
  • Tomando Laplace na equação \,y'(t)+y(t)=x'(t)\, e usando \mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s) e \mathcal{L}\{x'(t)\}=sX(s) (condições iniciais nulas), obtemos: sY(s)+Y(s)=sX(s).
  • Fatorando Y(s): Y(s)\bigl(s+1\bigr)=sX(s).
  • A função de transferência H(s)=\dfrac{Y(s)}{X(s)} é então H(s)=\frac{s}{s+1}.
  • A resposta em frequência é obtida substituindo s=j\omega: H(j\omega)=\frac{j\omega}{1+j\omega}.
  • Magnitude e fase (úteis para interpretar o comportamento): |H(j\omega)|=\frac{\omega}{\sqrt{1+\omega^{2}}},\qquad \arg H(j\omega)=\frac{\pi}{2}-\arctan(\omega).

Passo 4

Decidir se é passa-baixa ou passa-alta — interpretação física usando H(j\omega):
  • Avaliando em \omega=0 (DC): H(j0)=0. Ganho em DC é zero.
  • Avaliando em \omega\to\infty: \lim_{\omega\to\infty}H(j\omega)=1 (ganho unidade para altas frequências).
  • Portanto o circuito rejeita componentes de baixa frequência (ganho zero em 0) e permite altas frequências (ganho tende a 1). Logo é um filtro passa-alta.
  • Frequência de corte (ponto -3\\ \mathrm{dB}) ocorre quando |H(j\omega)|=1/\sqrt{2}. Com R=C=1 isso acontece em \omega_c=1 (rad/s), que em Hz é f_c=\dfrac{1}{2\pi}.

Passo 5

Determinar a resposta ao impulso h(t) (inversa de H(s)):
  • Temos H(s)=\dfrac{s}{s+1}. Faço a divisão parcial (ou manipulação algébrica): \frac{s}{s+1} = 1 - \frac{1}{s+1}.
  • Na transformação inversa de Laplace:
    • 1 no domínio de s corresponde a \delta(t) (impulso).
    • \dfrac{1}{s+1} corresponde a e^{-t}u(t).
  • Portanto a resposta ao impulso causal é h(t)=\delta(t)-e^{-t}u(t).
Explicação intuitiva: o termo \delta(t) representa a resposta instantânea do resistor (alta frequência), enquanto o -e^{-t}u(t) é a componente que cancela parte da energia de baixa frequência, resultando no comportamento passa-alta.

Passo 6

Encontrar a saída para uma entrada x(t) — abordagem geral (convolução) e observação sobre o seu enunciado.
  • A saída é a convolução da entrada com h(t): y(t)=\bigl(h*x\bigr)(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau)\,x(t-\tau)\,d\tau.
  • Usando h(t)=\delta(t)-e^{-t}u(t), a convolução simplifica (propriedade do delta): y(t)=x(t)-\int_{0}^{t} e^{-(t-\tau)}\,x(\tau)\,d\tau.(a integral de convolução tem limite de 0 a t por causa do u(t) — sistema causal.)
  • Observação importante: você deixou a expressão de x(t) incompleta no enunciado que me enviou. Por isso não é possível calcular um y(t) numérico/específico sem saber qual é x(t).
  • Se quiser, posso aplicar a fórmula acima a qualquer x(t) que você me der (por exemplo x(t)=u(t), x(t)=\sin(\omega_0 t)u(t), x(t)=\delta(t), etc.) e calcular y(t) explicitamente. Abaixo dou rapidamente dois exemplos ilustrativos:
    • Se x(t)=\delta(t), então y(t)=h(t)=\delta(t)-e^{-t}u(t).
    • Se x(t)=u(t) (degrau unitário), então y(t)=1-\int_{0}^{t} e^{-(t-\tau)}\,1\,d\tau =1-\int_{0}^{t} e^{-(t-\tau)}\,d\tau =1-\bigl(1-e^{-t}\bigr)=e^{-t},ou seja y(t)=e^{-t}u(t) para essa entrada (exemplo útil para ver o comportamento transitório).

Resposta

(a) H(j\omega)=\dfrac{j\omega}{1+j\omega}.
(b) O sistema é passa-alta (ganho 0 em \omega=0, tende a 1 quando \omega\to\infty; frequência de corte \omega_c=1 rad/s).
(c) h(t)=\delta(t)-e^{-t}u(t).
(d) A expressão geral da saída é y(t)=x(t)-\displaystyle\int_{0}^{t} e^{-(t-\tau)}\,x(\tau)\,d\tau. Não é possível calcular uma saída numérica específica porque a expressão de x(t) não foi fornecida.

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