Exercício 1.
Negação: \exists \mathrm{x} \in \mathbb{R},\left(\mathrm{x}^{2}>\mathrm{x}\right) \wedge(\mathrm{x} \leq 1)

Passo 1

O enunciado pede a negação da proposição
\exists x \in \mathbb{R}\,\bigl(x^2 > x \wedge x \le 1\bigr).
Estamos trabalhando com negação de quantificador e negação de conectivos lógicos, usando as leis de De Morgan e a equivalência
\neg\exists x\,P(x)\;\equiv\;\forall x\,\neg P(x).

Passo 2

Começamos aplicando a negação ao quantificador existencial. Seja P(x) a fórmula \bigl(x^2 > x \wedge x \le 1\bigr). Então
\neg\bigl(\exists x\in\mathbb{R}\,P(x)\bigr) \;\equiv\; \forall x\in\mathbb{R}\,\neg P(x).

Passo 3

Agora negamos o conector lógico dentro de P(x). Como P(x) é A\wedge B com
A:\;x^2 > x, \quad B:\;x \le 1,
usamos
\neg(A\wedge B)\;\equiv\;\neg A\;\lor\;\neg B.
Logo
\neg P(x) \;\equiv\; \bigl(x^2 \le x\bigr)\;\lor\;\bigl(x > 1\bigr).

Passo 4

Substituindo na equivalência do Passo 2, obtemos a negação completa:
\neg\Bigl(\exists x\in\mathbb{R}\,(x^2 > x \wedge x \le 1)\Bigr) \;\equiv\; \forall x\in\mathbb{R}\,\bigl(x^2 \le x \,\lor\, x > 1\bigr).

Resposta

\forall x\in\mathbb{R},\;(x^2 \le x)\;\lor\;(x > 1).

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