Exercício 1.
\forall \mathrm{x} \in \mathbb{R},(\mathrm{x} \leq 1) \Rightarrow\left(\mathrm{x}^{2} \leq \mathrm{x}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a proposição \forall x \in \mathbb{R},\,(x \le 1)\rightarrow(x^2 \le x).
O conteúdo aqui envolve interpretação de quantificadores universais, lógica de implicação e resolução de inequações.

Passo 2

Para avaliar (x \le 1)\rightarrow(x^2 \le x) lembramos que uma implicação p\rightarrow q é verdadeira sempre que p for falso ou q for verdadeiro. Assim, vamos separar em dois casos sobre x.

Passo 3

Caso x>1:
Aqui x\le 1 é falso, então a implicação é automaticamente verdadeira para todo x>1.

Passo 4

Caso x\le 1:
Agora o antecedente é verdadeiro, então precisamos de
x^2 \le x.
Isso equivale a
x^2 - x \le 0
x(x-1) \le 0.
Um produto é não-positivo quando os fatores têm sinais opostos ou são zero, o que dá a solução
x \in [0,1].

Passo 5

Concluímos que a implicação é verdadeira exatamente para
x>1\quad\text{ou}\quad x\in[0,1].
Para x<0 temos x\le1 verdadeiro, mas x^2\le x falso, gerando implicação falsa. Como existe x que torna a implicação falsa, a afirmação universal não se mantém.

Resposta

A proposição é falsa. Um contraexemplo é x=-1, pois -1\le1 mas (-1)^2=1\not\le -1.

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