Exercício 1.
\forall \mathrm{x} \in \mathbb{R},(\mathrm{x} \leq 1) \Rightarrow\left(\mathrm{x}^{2} \leq \mathrm{x}\right)
\forall \mathrm{x} \in \mathbb{R},(\mathrm{x} \leq 1) \Rightarrow\left(\mathrm{x}^{2} \leq \mathrm{x}\right)
Passo 1
O enunciado nos dá a proposição
.
O conteúdo aqui envolve interpretação de quantificadores universais, lógica de implicação e resolução de inequações.
O conteúdo aqui envolve interpretação de quantificadores universais, lógica de implicação e resolução de inequações.
Passo 2
Para avaliar
lembramos que uma implicação
é verdadeira sempre que
for falso ou
for verdadeiro. Assim, vamos separar em dois casos sobre
.
Passo 3
Caso
:
Aqui é falso, então a implicação é automaticamente verdadeira para todo
.
Aqui
Passo 4
Caso
:
Agora o antecedente é verdadeiro, então precisamos de
Agora o antecedente é verdadeiro, então precisamos de
Isso equivale a
Um produto é não-positivo quando os fatores têm sinais opostos ou são zero, o que dá a solução
Passo 5
Concluímos que a implicação é verdadeira exatamente para
Para
temos
verdadeiro, mas
falso, gerando implicação falsa. Como existe
que torna a implicação falsa, a afirmação universal não se mantém.
Resposta
A proposição é falsa. Um contraexemplo é
, pois
mas
.