Exercício 2) Para as notações de desigualdades dadas abaixo descreva, analítica e geometricamente, seus lugares geométricos.
R: \rho(x, y, z)=y-1 \leq 0;

Passo 1

O enunciado define o subconjunto
R = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid \rho(x,y,z)=y-1 \le 0\}
e pede duas coisas:
• Descrever analiticamente esse lugar geométrico.
• Descrever geometricamente esse mesmo lugar geométrico.

Passo 2

Analiticamente, basta reescrever a condição em termos de conjunto:
R = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid y \le 1\}.
A fronteira de R (o conjunto dos pontos onde muda a desigualdade) é
\partial R = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid y = 1\}.

Passo 3

Geometricamente, \partial R é o plano horizontal de equação
y = 1,
perpendicular ao eixo y. O conjunto R é o meio-espaço fechado formado por todos os pontos que ficam no lado onde y é menor ou igual a 1, incluindo o próprio plano.

Resposta

Analítica:
R = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid y \le 1\},\quad \partial R = \{(x,y,z)\mid y=1\}.
Geométrica:
Meio-espaço fechado limitado pelo plano y=1, contendo todos os pontos com coordenada y abaixo ou igual a 1.

Exercícios relacionados