Exercício 2) Para as notações de desigualdades dadas abaixo descreva, analítica e geometricamente, seus lugares geométricos.
\Gamma: z-x^{2}-y^{2} \geq 0;

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico descrito pela desigualdade \Gamma: z - x^{2} - y^{2} \ge 0.
O conteúdo é geometria de superfícies em \mathbb{R}^{3}: vamos interpretar analiticamente a desigualdade e, em seguida, dar sua descrição geométrica.

Passo 2

Reescrevendo a desigualdade isolamos z:
z - x^{2} - y^{2} \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad z \ge x^{2} + y^{2}.

Passo 3

Em forma analítica, o lugar geométrico é o conjunto
\Gamma = \bigl\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}\mid z \ge x^{2} + y^{2}\bigr\}.
Isto é, todos os pontos cujo valor de z é maior ou igual ao valor dado pela função parabólica x^{2}+y^{2}.

Passo 4

Geometricamente, a equação z = x^{2} + y^{2} é um paraboloide de revolução que se abre para cima. A desigualdade z \ge x^{2} + y^{2} determina a região sólida que fica sobre (e inclui) esse paraboloide. Visualize um “bowl” infinito voltado para cima, e considere todo o seu interior e a própria casca.

Resposta

Analítica:
\Gamma = \bigl\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}\mid z \ge x^{2} + y^{2}\bigr\}.
Geométrica:
Região sólida em \mathbb{R}^{3} sobre o paraboloide de revolução z = x^{2} + y^{2}, incluindo a superfície, estendendo-se infinitamente para cima.

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