Exercício 2) Para as notações de desigualdades dadas abaixo descreva, analítica e geometricamente, seus lugares geométricos.
\Sigma: z \geq \sqrt{x^{2}+y^{2}};

Passo 1

O enunciado define o conjunto \Sigma: z \ge \sqrt{x^2 + y^2}
em \mathbb{R}^3. Vamos descrever, de um lado, a forma analítica dessa região e, de outro, sua interpretação geométrica.

Passo 2

Para tratar a desigualdade analiticamente, note que \sqrt{x^2 + y^2} é sempre não-negativo. Logo z \ge \sqrt{x^2 + y^2} é equivalente a exigir simultaneamente
z \ge 0 \quad\text{e}\quad z^2 \ge x^2 + y^2.
Portanto, em forma de conjunto,
\Sigma = \bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : z\ge0,\; z^2 \ge x^2 + y^2 \bigr\}.

Passo 3

Geometricamente, a equação de fronteira z^2 = x^2 + y^2 define um cone duplo de vértice na origem e semi-ângulo de 45^\circ. A condição adicional z\ge0 seleciona apenas a “napipe” superior desse cone. A exigência z\ge\sqrt{x^2+y^2} corresponde, então, à região sólida (fechada) que fica sobre e na superfície desse cone superior, isto é, todos os pontos que estão no cone ou acima dele, estendendo-se indefinidamente para cima ao longo do eixo z.

Resposta

Analiticamente,
\Sigma = \bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : z\ge0,\; z^2 \ge x^2 + y^2 \bigr\}.
Geometricamente, é o sólido fechado formado pela superfície do cone reto de vértice na origem e semi-ângulo de 45^\circ (a parte com z\ge0) e por todos os pontos que se encontram acima desse cone.

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