Exercício 2) Para as notações de desigualdades dadas abaixo descreva, analítica e geometricamente, seus lugares geométricos.
R: 0 \leq z \leq \sqrt{1-x^{2}-y^{2}};

Passo 1

O enunciado nos dá a região
R:\;0 \le z \le \sqrt{1 - x^2 - y^2}
no espaço \mathbb{R}^3. O conteúdo aqui é a descrição de regiões definidas por desigualdades, envolvendo a esfera de raio 1 centrada na origem e o plano z=0.

Passo 2

Para que \sqrt{1 - x^2 - y^2} seja real, precisamos de
1 - x^2 - y^2 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + y^2 \le 1.
Além disso, z varia de 0 até esse valor da raiz. Assim, em forma analítica podemos escrever
R = \bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^2 + y^2 \le 1,\;0 \le z \le \sqrt{1 - x^2 - y^2}\bigr\}.
Equivalentemente, somando z^2 dos dois lados da raiz, obtemos
x^2 + y^2 + z^2 \le 1 \quad\text{e}\quad z \ge 0,
isto é,
R = \bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^2 + y^2 + z^2 \le 1,\;z \ge 0\bigr\}.

Passo 3

Geometricamente, x^2 + y^2 + z^2 = 1 é a esfera de raio 1 centrada na origem, e z\ge0 restringe-a à metade superior (hemisfério). A condição z\ge0 junto com z\le\sqrt{1-x^2-y^2} faz com que R seja o sólido formado pelo hemisfério superior da esfera de raio 1, incluindo a base circular no plano z=0.

Resposta

Análise analítica:
R = \{(x,y,z)\mid x^2 + y^2 \le 1,\;0 \le z \le \sqrt{1 - x^2 - y^2}\} = \{(x,y,z)\mid x^2 + y^2 + z^2 \le 1,\;z \ge 0\}.
Descrição geométrica: Região sólida correspondente ao hemisfério superior (com a base) da esfera de raio 1, centrada na origem.

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