Exercício (novo) 28. Considere o experimento em que dois dados de 6 lados honestos são lançados. Verifique quais dos pares de eventos a seguir são independetes.
A_{1}=\{ a soma dos resultados é 7 \} e B_{1}=\{ o resultado do primeiro dado é 3 \} .

Passo 1

O experimento: lançar dois dados honestos de 6 lados. O espaço amostral tem 36 resultados igualmente prováveis, que podem ser escritos como pares ordenados (i,j) com i sendo o resultado do primeiro dado e j do segundo, onde i,j\in\{1,2,3,4,5,6\}.
Os eventos dados:
  • A_{1}=\{ a soma dos resultados é 7}.
  • B_{1}=\{ o resultado do primeiro dado é 3}.
O que o enunciado pede: verificar se A_{1} e B_{1} são eventos independentes.

Passo 2

Definição prática de independência (fórmula que usaremos): dois eventos A e B são independentes se, e somente se,
P(A\cap B)=P(A)\,P(B).
Uma forma equivalente é comparar P(A\mid B) com P(A), pois
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
Se P(A\mid B)=P(A) então A e B são independentes. Vou usar a primeira igualdade e, também, mostrar a verificação pelo condicional para dar intuição.

Passo 3

Calcular P(A_{1}). Primeiro listar os resultados em que a soma é 7:
(1,6),\\ (2,5),\\ (3,4),\\ (4,3),\\ (5,2),\\ (6,1).
São 6 resultados favoráveis em um total de 36. Então
P(A_{1})=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.

Passo 4

Calcular P(B_{1}). O evento B_{1} corresponde a todas as saídas com primeiro dado igual a 3:
(3,1),\\ (3,2),\\ (3,3),\\ (3,4),\\ (3,5),\\ (3,6).
Também são 6 resultados favoráveis em 36. Logo
P(B_{1})=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.

Passo 5

Calcular P(A_{1}\cap B_{1}). A interseção exige que o primeiro dado seja 3 e a soma seja 7. Entre os resultados de B_{1} apenas (3,4) tem soma 7. Assim há exatamente 1 resultado favorável em 36, e
P(A_{1}\cap B_{1})=\frac{1}{36}.

Passo 6

Verificar a condição de independência comparando P(A_{1}\cap B_{1}) com P(A_{1})P(B_{1}):
P(A_{1})P(B_{1})=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{36}.
Como
P(A_{1}\cap B_{1})=\frac{1}{36}=P(A_{1})P(B_{1}),
a igualdade que caracteriza independência é satisfeita. Para reforçar a intuição, calculemos o condicional:
P(A_{1}\mid B_{1})=\frac{P(A_{1}\cap B_{1})}{P(B_{1})}=\frac{\tfrac{1}{36}}{\tfrac{1}{6}}=\frac{1}{6}=P(A_{1}).
Ou seja, saber que o primeiro dado vale 3 não altera a probabilidade de a soma ser 7 — porque nesse caso a soma 7 ocorre exatamente quando o segundo dado é 4, e isso tem probabilidade 1/6, igual à probabilidade inicial de A_{1}.

Passo 7

Conclusão e dica rápida para prova: conte resultados favoráveis no espaço com 36 resultados ordenados; calcule P(A), P(B) e P(A\cap B) e compare P(A\cap B) com P(A)P(B). Se forem iguais, os eventos são independentes. Aqui deu igualdade, logo independência confirmada.

Resposta

A_{1} e B_{1} são independentes.

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