Exercício (novo) 28. Considere o experimento em que dois dados de 6 lados honestos são lançados. Verifique quais dos pares de eventos a seguir são independetes.
a soma dos resultados é 7
e
o resultado do primeiro dado é 3
.
Passo 1
O experimento: lançar dois dados honestos de 6 lados. O espaço amostral tem
resultados igualmente prováveis, que podem ser escritos como pares ordenados
com
sendo o resultado do primeiro dado e
do segundo, onde
.
Os eventos dados:
-
a soma dos resultados é }. -
o resultado do primeiro dado é }.
O que o enunciado pede: verificar se
e
são eventos independentes.
Passo 2
Definição prática de independência (fórmula que usaremos): dois eventos
e
são independentes se, e somente se,
Uma forma equivalente é comparar
com
, pois
Se
então
e
são independentes. Vou usar a primeira igualdade e, também, mostrar a verificação pelo condicional para dar intuição.
Passo 3
Calcular
. Primeiro listar os resultados em que a soma é
:
São
resultados favoráveis em um total de
. Então
Passo 4
Calcular
. O evento
corresponde a todas as saídas com primeiro dado igual a
:
Também são
resultados favoráveis em
. Logo
Passo 5
Calcular
. A interseção exige que o primeiro dado seja
e a soma seja
. Entre os resultados de
apenas
tem soma
. Assim há exatamente
resultado favorável em
, e
Passo 6
Verificar a condição de independência comparando
com
:
Como
a igualdade que caracteriza independência é satisfeita. Para reforçar a intuição, calculemos o condicional:
Ou seja, saber que o primeiro dado vale
não altera a probabilidade de a soma ser
— porque nesse caso a soma
ocorre exatamente quando o segundo dado é
, e isso tem probabilidade
, igual à probabilidade inicial de
.
Passo 7
Conclusão e dica rápida para prova: conte resultados favoráveis no espaço com
resultados ordenados; calcule
,
e
e compare
com
. Se forem iguais, os eventos são independentes. Aqui deu igualdade, logo independência confirmada.