Exercício 26. Uma caixa possui três moedas: uma não viciada, uma com duas faces cara e outra viciada de forma que a probabilidade de coroa igual 4/5. Uma moeda é retirada ao acaso da caixa e lançada, observando-se a face cara. Encontre a probabilidade de que a moeda escolhida tenha sido a segunda.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
-
Informação dada:
- Há três moedas na caixa; uma é escolhida ao acaso (todas igualmente prováveis).
- Moeda 1: não viciada (ou seja, probabilidade de cara igual a
). - Moeda 2: com duas faces cara (ou seja, probabilidade de cara igual a
). - Moeda 3: viciada de forma que a probabilidade de coroa é
; portanto a probabilidade de cara é . - Uma moeda é retirada ao acaso e lançada; observou-se a face cara.
-
O que o enunciado pergunta:
- Qual a probabilidade de que a moeda escolhida tenha sido a segunda (a moeda com duas faces cara), dado que o resultado do lançamento foi cara?
Passo 2
Estratégia e fórmula que vamos usar (explicada passo a passo).
-
Definimos os eventos:
-
: foi escolhida a moeda 1 (não viciada). -
: foi escolhida a moeda 2 (duas caras). -
: foi escolhida a moeda 3 (viciada com ). -
: saiu cara no lançamento.
-
-
Queremos
: probabilidade de sabendo que ocorreu. -
Usamos a regra de Bayes, que vem da definição de probabilidade condicional:Aplicando ao nosso caso:Como
, temos a fórmula usual de Bayes: Aqui:-
é a probabilidade a priori de escolher a moeda 2. -
é a probabilidade de obter cara se a moeda 2 foi escolhida. -
é a probabilidade total de obter cara (considerando todas as moedas).
-
Passo 3
Determinar as probabilidades a priori de escolha das moedas.
- Como a moeda é retirada ao acaso e há três moedas, cada moeda tem probabilidade igual de ser escolhida:
Passo 4
Determinar as probabilidades de obter cara condicionalmente a cada moeda (as “verossimilhanças”).
- Para cada moeda:
- Moeda 1 (não viciada):
- Moeda 2 (duas caras):
- Moeda 3 (coroa com probabilidade
): então
- Moeda 1 (não viciada):
Passo 5
Calcular a probabilidade total de obter cara,
, usando a lei da probabilidade total.
- A lei da probabilidade total diz:
Substituindo os valores: - Vamos calcular passo a passo usando frações com denominador comum
: Somando:
Passo 6
Aplicar Bayes para obter
.
- Numerador:
- Então
Simplificando: transforme , então
Passo 7
Interpretação curta e incentivo.
- A probabilidade de a moeda escolhida ter sido a segunda (duas caras), dado que saiu cara, é
, ou aproximadamente (ou ). - Bom trabalho! Esse tipo de problema é sempre aplicar Bayes: prior × verossimilhança dividido pela probabilidade total. Você já está na pista certa — continue praticando que vai melhorar rápido!