Exercício 26. Uma caixa possui três moedas: uma não viciada, uma com duas faces cara e outra viciada de forma que a probabilidade de coroa igual 4/5. Uma moeda é retirada ao acaso da caixa e lançada, observando-se a face cara. Encontre a probabilidade de que a moeda escolhida tenha sido a segunda.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Informação dada:
    • Há três moedas na caixa; uma é escolhida ao acaso (todas igualmente prováveis).
    • Moeda 1: não viciada (ou seja, probabilidade de cara igual a 1/2).
    • Moeda 2: com duas faces cara (ou seja, probabilidade de cara igual a 1).
    • Moeda 3: viciada de forma que a probabilidade de coroa é 4/5; portanto a probabilidade de cara é 1/5.
    • Uma moeda é retirada ao acaso e lançada; observou-se a face cara.
  • O que o enunciado pergunta:
    • Qual a probabilidade de que a moeda escolhida tenha sido a segunda (a moeda com duas faces cara), dado que o resultado do lançamento foi cara?

Passo 2

Estratégia e fórmula que vamos usar (explicada passo a passo).
  • Definimos os eventos:
    • C_1: foi escolhida a moeda 1 (não viciada).
    • C_2: foi escolhida a moeda 2 (duas caras).
    • C_3: foi escolhida a moeda 3 (viciada com P(\text{coroa})=4/5).
    • H: saiu cara no lançamento.
  • Queremos P(C_2\mid H): probabilidade de C_2 sabendo que H ocorreu.
  • Usamos a regra de Bayes, que vem da definição de probabilidade condicional:
    P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
    Aplicando ao nosso caso:
    P(C_2\mid H)=\frac{P(C_2\cap H)}{P(H)}.
    Como P(C_2\cap H)=P(C_2)\,P(H\mid C_2), temos a fórmula usual de Bayes:
    P(C_2\mid H)=\frac{P(C_2)\,P(H\mid C_2)}{P(H)}.
    Aqui:
    • P(C_2) é a probabilidade a priori de escolher a moeda 2.
    • P(H\mid C_2) é a probabilidade de obter cara se a moeda 2 foi escolhida.
    • P(H) é a probabilidade total de obter cara (considerando todas as moedas).

Passo 3

Determinar as probabilidades a priori de escolha das moedas.
  • Como a moeda é retirada ao acaso e há três moedas, cada moeda tem probabilidade igual de ser escolhida: P(C_1)=P(C_2)=P(C_3)=\frac{1}{3}.

Passo 4

Determinar as probabilidades de obter cara condicionalmente a cada moeda (as “verossimilhanças”).
  • Para cada moeda:
    • Moeda 1 (não viciada): P(H\mid C_1)=\frac{1}{2}.
    • Moeda 2 (duas caras): P(H\mid C_2)=1.
    • Moeda 3 (coroa com probabilidade 4/5): então P(H\mid C_3)=1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}.

Passo 5

Calcular a probabilidade total de obter cara, P(H), usando a lei da probabilidade total.
  • A lei da probabilidade total diz: P(H)=\sum_{i=1}^{3} P(C_i)\,P(H\mid C_i).Substituindo os valores: P(H)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdot 1+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{5}.
  • Vamos calcular passo a passo usando frações com denominador comum 30: \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{6}=\frac{5}{30}, \qquad \frac{1}{3}\cdot 1=\frac{1}{3}=\frac{10}{30}, \qquad \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{15}=\frac{2}{30}.Somando: P(H)=\frac{5}{30}+\frac{10}{30}+\frac{2}{30}=\frac{17}{30}.

Passo 6

Aplicar Bayes para obter P(C_2\mid H).
  • Numerador: P(C_2)\,P(H\mid C_2)=\frac{1}{3}\cdot 1=\frac{1}{3}.
  • Então P(C_2\mid H)=\frac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{17}{30}}.Simplificando: transforme \dfrac{1}{3}=\dfrac{10}{30}, então P(C_2\mid H)=\frac{10/30}{17/30}=\frac{10}{17}.

Passo 7

Interpretação curta e incentivo.
  • A probabilidade de a moeda escolhida ter sido a segunda (duas caras), dado que saiu cara, é \dfrac{10}{17}, ou aproximadamente 0{,}588 (ou 58{,}8\%).
  • Bom trabalho! Esse tipo de problema é sempre aplicar Bayes: prior × verossimilhança dividido pela probabilidade total. Você já está na pista certa — continue praticando que vai melhorar rápido!

Resposta

\dfrac{10}{17}

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