Exercício 6. O número de televisores vendidos mensalmente em uma determinada loja é bem descrito por uma variável aleatória X com a seguinte função de probabilidade
k 0 1 2 3
p_{X}(k) 0,1 0,2 0,3 0,4
Qual é o número esperado de vendas em um determinado mês? E o desvio padrão?

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória discreta X que assume os valores 0,1,2,3 com probabilidades 0,1, 0,2, 0,3 e 0,4, respectivamente. Precisamos calcular o valor esperado (média) e o desvio padrão dessa distribuição. Para isso usaremos as fórmulas:
E[X]=\sum_{k}k\,p_X(k)
Var(X)=E[X^2] - \bigl(E[X]\bigr)^2,\quad \sigma_X=\sqrt{Var(X)}

Passo 2

Calcular o valor esperado usando
E[X]=\sum_{k=0}^{3}k\,p_X(k)
Substituindo os valores:
E[X]=0\cdot0,1 + 1\cdot0,2 + 2\cdot0,3 + 3\cdot0,4 = 0 + 0,2 + 0,6 + 1,2 = 2,0

Passo 3

Calcular E[X^2] pela definição
E[X^2]=\sum_{k=0}^{3}k^2\,p_X(k)
Substituindo:
E[X^2]=0^2\cdot0,1 + 1^2\cdot0,2 + 2^2\cdot0,3 + 3^2\cdot0,4 = 0 + 0,2 + 1,2 + 3,6 = 5,0

Passo 4

Determinar a variância e o desvio padrão:
Var(X)=E[X^2] - \bigl(E[X]\bigr)^2 = 5,0 - (2,0)^2 = 5,0 - 4,0 = 1,0
\sigma_X = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{1,0} = 1,0

Resposta

E[X] = 2,0 \sigma_X = 1,0

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