Exercício 7. Uma fábrica produz uma determinada peça em grandes lotes. Sabe-se que 2 \% das peças produzidas apresentam defeitos de fabricação. Para fins de controle de qualidade, a empresa seleciona aleatoriamente 20 peças de um lote para inspeção. Dentre as 20 peças selecionadas, calcule
(a) a probabilidade de exatamente 2 peças apresentarem defeitos.
(b) a probabilidade de pelo menos 3 peças apresentarem defeitos.
(c) o número esperado de peças defeituosas e a variância.

Passo 1

O enunciado diz que, numa amostra de n=20 peças, cada peça tem probabilidade p=0,02 de ser defeituosa, de forma independente. Logo a variável aleatória X, número de peças defeituosas na amostra, segue uma distribuição binomial
X \sim \mathrm{Bin}(n=20,\;p=0,02).
Para resolver vamos usar a fórmula de probabilidade da binomial, a soma de probabilidades e as fórmulas de esperança e variância de uma binomial.

Passo 2

Para calcular a probabilidade de exatamente 2 peças defeituosas usamos
P(X=2) = \binom{20}{2}\,p^{2}\,(1-p)^{20-2}.
Substituindo p=0,02,
P(X=2) = \binom{20}{2}\,(0,02)^{2}\,(0,98)^{18}.
Numericamente, \binom{20}{2}=190, (0,02)^{2}=0,0004 e (0,98)^{18}\approx0,6954, portanto
P(X=2)\approx190 \times 0,0004 \times 0,6954 \approx0,0528.

Passo 3

Para a probabilidade de pelo menos 3 defeitos, escrevemos
P(X\ge3) = 1 - P(X\le2) = 1 - \bigl[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\bigr].
Calculamos
P(X=0) = (0,98)^{20}\approx0,6677,
P(X=1) = \binom{20}{1}(0,02)(0,98)^{19} = 20 \times 0,02 \times (0,98)^{19} \approx0,2726,
e já temos P(X=2)\approx0,0528. Logo
P(X\le2)\approx0,6677+0,2726+0,0528=0,9931
e
P(X\ge3)\approx1 - 0,9931 = 0,0069.

Passo 4

A esperança e a variância de X\sim\mathrm{Bin}(n,p) são
E(X) = n\,p,
\mathrm{Var}(X) = n\,p\,(1-p).
Substituindo n=20 e p=0,02, temos
E(X) = 20 \times 0,02 = 0,4,
\mathrm{Var}(X) = 20 \times 0,02 \times 0,98 = 0,392.

Resposta

(a) P(X=2)=\displaystyle \binom{20}{2}(0,02)^{2}(0,98)^{18}\approx0,0528.
(b) P(X\ge3)=1-\bigl[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\bigr]\approx0,0069.
(c) E(X)=0,4 e \mathrm{Var}(X)=0,392.

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