Exercício 7. Uma fábrica produz uma determinada peça em grandes lotes. Sabe-se que
das peças produzidas apresentam defeitos de fabricação. Para fins de controle de qualidade, a empresa seleciona aleatoriamente 20 peças de um lote para inspeção. Dentre as 20 peças selecionadas, calcule
(a) a probabilidade de exatamente 2 peças apresentarem defeitos.
(b) a probabilidade de pelo menos 3 peças apresentarem defeitos.
(c) o número esperado de peças defeituosas e a variância.
(a) a probabilidade de exatamente 2 peças apresentarem defeitos.
(b) a probabilidade de pelo menos 3 peças apresentarem defeitos.
(c) o número esperado de peças defeituosas e a variância.
Passo 1
O enunciado diz que, numa amostra de
peças, cada peça tem probabilidade
de ser defeituosa, de forma independente. Logo a variável aleatória
, número de peças defeituosas na amostra, segue uma distribuição binomial
Para resolver vamos usar a fórmula de probabilidade da binomial, a soma de probabilidades e as fórmulas de esperança e variância de uma binomial.
Passo 2
Para calcular a probabilidade de exatamente 2 peças defeituosas usamos
Substituindo
,
Numericamente,
,
e
, portanto
Passo 3
Para a probabilidade de pelo menos 3 defeitos, escrevemos
Calculamos
e já temos
. Logo
e
Passo 4
A esperança e a variância de
são
Substituindo
e
, temos
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) e
.
(b)
(c)