Exercício 0.5 Obtenha o conjunto solução. \left|x^{2}-6 x+5\right|+1<x;
Passo 1
O enunciado pede: obter o conjunto solução da desigualdade
\left|x^{2}-6x+5\right|+1<x.
Informações relevantes dadas:
\text{(i) } \left|x^{2}-6x+5\right|+1<x.
Não há outras informações externas; vamos trabalhar apenas com essa desigualdade.
Passo 2
Primeiro passo algébrico: isolar o valor absoluto. Subtraindo 1 dos dois lados obtemos
\left|x^{2}-6x+5\right|<x-1.
Aqui é importante notar algo sobre o membro direito: o módulo é sempre não negativo, ou seja \left|x^{2}-6x+5\right|\ge0. Para que exista solução da forma \left|\,\cdot\,\right|<x-1 é necessário que o lado direito seja estritamente positivo. Logo precisamos de
x-1>0\quad\Rightarrow\quad x>1.
Portanto qualquer solução deve satisfazer x>1. A partir daqui só consideramos x>1.
Passo 3
Vamos estudar o sinal da expressão dentro do valor absoluto:
x^{2}-6x+5.
Fatorando:
x^{2}-6x+5=(x-1)(x-5).
As raízes são x=1 e x=5. Isso nos permite dividir a reta em intervalos e saber o sinal de x^{2}-6x+5:
Para x<1: (x-1)<0 e (x-5)<0 então produto >0.
Para 1<x<5: (x-1)>0 e (x-5)<0 então produto <0.
Para x>5: ambos positivos então produto >0.
Como já deduzimos que precisamos de x>1, só precisamos tratar os intervalos 1<x<5 e x\ge5.
Passo 4
Caso 1<x<5. Nesse intervalo temos x^{2}-6x+5<0, portanto
Substituindo na desigualdade \left|x^{2}-6x+5\right|<x-1 obtemos
-x^{2}+6x-5<x-1.
Agora resolvemos essa desigualdade passo a passo:
-x^{2}+6x-5-x+1<0
-x^{2}+5x-4<0.
Multiplicando por -1 e invertendo o sinal da desigualdade:
x^{2}-5x+4>0.
Fatorando:
x^{2}-5x+4=(x-1)(x-4)>0.
Uma inequação do tipo (x-1)(x-4)>0 é satisfeita para x<1 ou x>4. Intersectando com o nosso intervalo original 1<x<5 obtemos a parte válida
4<x<5.
Verificação rápida nas fronteiras: em x=4 a desigualdade falha (seria igualdade); em x=5 não pertence a este caso (é fronteira para o caso seguinte). Portanto do caso 1<x<5 obtemos a solução (4,5).
Passo 5
Caso x\ge5. Nesse intervalo x^{2}-6x+5\ge0, logo
\left|x^{2}-6x+5\right|=x^{2}-6x+5.
Substituindo em \left|x^{2}-6x+5\right|<x-1:
x^{2}-6x+5<x-1.
Passos algébricos:
x^{2}-6x+5-x+1<0
x^{2}-7x+6<0.
Fatorando:
x^{2}-7x+6=(x-1)(x-6)<0.
A desigualdade (x-1)(x-6)<0 é satisfeita para 1<x<6. Intersectando com x\ge5 (o nosso caso) obtemos
5\le x<6.
Verificações nas fronteiras: em x=5 a desigualdade original dá |0|+1<5 que é 1<5, verdadeira; em x=6 temos |36-36+5|+1=6<6 falsa. Logo do caso x\ge5 obtemos [5,6).
Passo 6
Agora unimos os resultados válidos dos dois casos, lembrando também que qualquer solução precisa satisfazer x>1. Dos casos obtivemos:
(4,5)\quad\text{e}\quad[5,6).
A união desses intervalos é
(4,6).
Também confirmamos que não há soluções com x\le1 (porque então x-1\le0 e a desigualdade seria impossível), e que não há soluções para x\ge6.