Exercício 0.5 Obtenha o conjunto solução. \left|x^{2}-4\right|<3 x.
Passo 1
O enunciado pede: obter o conjunto solução da inequação \left|x^{2}-4\right|<3x.\n
Informações relevantes fornecidas: \left|x^{2}-4\right|<3x é uma desigualdade com valor absoluto; o sinal é estrito (<); o termo do lado direito é 3x (depende de x).\n
Pergunta explícita: encontrar todos os valores de x que satisfazem \left|x^{2}-4\right|<3x.
Passo 2
Entendimento do valor absoluto em desigualdades e condição necessária.\n
Regra importante: para qualquer expressão A e número B, a desigualdade \left|A\right|<B é possível somente se B>0. Quando B>0 temos equivalência
Aqui A=x^{2}-4 e B=3x. Portanto, antes de aplicar a dupla desigualdade precisamos ter
3x>0,
ou seja
x>0.
Só valores positivos de x podem satisfazer a inequação original.
Passo 3
Aplicando a equivalência para x>0: temos
-3x < x^{2}-4 < 3x.
Vamos tratar as duas desigualdades separadamente. Primeiro a desigualdade da esquerda:
-3x < x^{2}-4.
Reescrevendo todos os termos no mesmo lado:
0 < x^{2}+3x-4,
ou seja queremos
x^{2}+3x-4>0.
Agora resolvemos a equação quadrática associada para encontrar os pontos críticos (raízes):
x^{2}+3x-4=0.
Calculamos o discriminante \Delta:
\Delta = 3^{2}-4\cdot1\cdot(-4)=9+16=25.
As raízes são
x=\frac{-3\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{-3\pm5}{2},
logo as raízes são x=1 e x=-4. Como o coeficiente de x^{2} é positivo (parábola voltada para cima), a desigualdade x^{2}+3x-4>0 é satisfeita fora do intervalo entre as raízes:
x< -4 \quad\text{ou}\quad x>1.
Passo 4
Agora a desigualdade da direita:
x^{2}-4 < 3x.
Reescrevendo:
0 < -x^{2}+3x+4 \quad\text{ou}\quad x^{2}-3x-4<0.
Estudamos a equação associada
x^{2}-3x-4=0.
Discriminante:
\Delta = (-3)^{2}-4\cdot1\cdot(-4)=9+16=25.
Raízes:
x=\frac{3\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{3\pm5}{2},
logo as raízes são x=4 e x=-1. Como o coeficiente de x^{2} é positivo, a desigualdade x^{2}-3x-4<0 é satisfeita entre as raízes:
-1 < x < 4.
Passo 5
Agora fazemos a interseção das condições obtidas e lembrando a condição necessária x>0.\n
Condições em mãos:
\text{(i) } x<-4 \\ \text{ou}\\ x>1 \quad\text{(vinda de }x^{2}+3x-4>0\text{)},
\text{(ii) } -1<x<4 \quad\text{(vinda de }x^{2}-3x-4<0\text{)},
\text{(iii) } x>0.
Interseção de (i) e (ii): a parte x<-4 não intersecta (-1,4). A parte x>1 intersectada com (-1,4) dá
1<x<4.
Agora intersectamos com (iii) x>0. O intervalo 1<x<4 já satisfaz x>0, então permanece
1<x<4.
Verificação rápida com pontos: para x=2 temos \left|2^{2}-4\right|=0<6=3\cdot2 (ok). Para x=0{,}5 temos \left|0{,}25-4\right|=3{,}75\not<1{,}5 (fora). Em x=1 ou x=4 a desigualdade seria uma igualdade (=), mas como é estrita (<) excluímos as extremidades.