Exercício 6. Obtenha a forma exponencial da série de Fourier das funções dadas por
(d) f(t)=\cos \left(\frac{\pi}{2} t\right)-\operatorname{sen}\left(\frac{3 \pi}{2} t\right)
Passo 1
O enunciado pede: obter a forma exponencial da série de Fourier da função
A função é dada explicitamente como soma de um cosseno e de um seno.
Devemos escrever f(t) como série exponencial de Fourier, isto é na forma
f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n\,e^{j n \omega_0 t},
determinando \omega_0 (a frequência angular fundamental) e os coeficientes c_n.
Passo 2
Determinar o período T e a frequência angular fundamental \omega_0.
Para uma função \cos(\alpha t) a frequência angular é \alpha e o período é T=\dfrac{2\pi}{\alpha}.
Para \cos\!\left(\frac{\pi}{2}t\right) temos \alpha=\dfrac{\pi}{2}, logo
T_1=\frac{2\pi}{\pi/2}=4.
Para \operatorname{sen}\!\left(\frac{3\pi}{2}t\right) temos \alpha=\frac{3\pi}{2}, logo
T_2=\frac{2\pi}{3\pi/2}=\frac{4}{3}.
O período da soma é o mínimo múltiplo comum de T_1 e T_2. Escrevendo em terços: T_1=4=\tfrac{12}{3} e T_2=\tfrac{4}{3}; o MMC é \tfrac{12}{3}=4. Então o período da função é
Explicação breve: \cos\theta é a parte real de e^{j\theta} e \sin\theta é a parte imaginária. Esses dois resultados são obtidos somando e subtraindo e^{j\theta} e e^{-j\theta} e isolando as partes real e imaginária.
Passo 4
Aplicar as identidades do Passo 3 com \theta=\omega_0 t e \theta=3\omega_0 t, lembrando que \omega_0=\dfrac{\pi}{2}.
e para todo n diferente de \pm 1,\pm 3 temos c_n=0.
Passo 6
Breve verificação via fórmula integral (opcional, para fixar o conceito):
A fórmula geral para os coeficientes da série exponencial é
c_n=\frac{1}{T}\int_{T} f(t)\,e^{-j n \omega_0 t}\,dt,
onde T é o período e \omega_0=2\pi/T. Aqui T=4 e \omega_0=\pi/2.
Se aplicarmos a integral para, por exemplo, n=1, os termos ortogonais fazem com que só o contributo do e^{j\omega_0 t} apareça e dê c_1=\tfrac{1}{2}; para n=3 surge c_3=\tfrac{j}{2}. Isso confirma os coeficientes encontrados na expansão direta (a integral é só uma verificação do princípio de ortogonalidade dos exponenciais).
Passo 7
Escrever a série exponencial completa usando os coeficientes encontrados: