Exercício 6. Obtenha a forma exponencial da série de Fourier das funções dadas por
(d) f(t)=\cos \left(\frac{\pi}{2} t\right)-\operatorname{sen}\left(\frac{3 \pi}{2} t\right)

Passo 1

O enunciado pede: obter a forma exponencial da série de Fourier da função
f(t)=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}t\right)-\operatorname{sen}\!\left(\frac{3\pi}{2}t\right).
Informações dadas e o que devemos entregar:
  • A função é dada explicitamente como soma de um cosseno e de um seno.
  • Devemos escrever f(t) como série exponencial de Fourier, isto é na forma
f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n\,e^{j n \omega_0 t},
determinando \omega_0 (a frequência angular fundamental) e os coeficientes c_n.

Passo 2

Determinar o período T e a frequência angular fundamental \omega_0.
  • Para uma função \cos(\alpha t) a frequência angular é \alpha e o período é T=\dfrac{2\pi}{\alpha}.
  • Para \cos\!\left(\frac{\pi}{2}t\right) temos \alpha=\dfrac{\pi}{2}, logo
T_1=\frac{2\pi}{\pi/2}=4.
  • Para \operatorname{sen}\!\left(\frac{3\pi}{2}t\right) temos \alpha=\frac{3\pi}{2}, logo
T_2=\frac{2\pi}{3\pi/2}=\frac{4}{3}.
  • O período da soma é o mínimo múltiplo comum de T_1 e T_2. Escrevendo em terços: T_1=4=\tfrac{12}{3} e T_2=\tfrac{4}{3}; o MMC é \tfrac{12}{3}=4. Então o período da função é
T=4.
  • A frequência angular fundamental é
\omega_0=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}.

Passo 3

Relembrar as fórmulas de Euler que nos permitem converter cosseno e seno em exponenciais complexas:
  • A fórmula de Euler é \displaystyle e^{j\theta}=\cos\theta + j\sin\theta.
  • Dessas decorrem as identidades
\cos\theta=\frac{e^{j\theta}+e^{-j\theta}}{2}, \qquad \sin\theta=\frac{e^{j\theta}-e^{-j\theta}}{2j}.
Explicação breve: \cos\theta é a parte real de e^{j\theta} e \sin\theta é a parte imaginária. Esses dois resultados são obtidos somando e subtraindo e^{j\theta} e e^{-j\theta} e isolando as partes real e imaginária.

Passo 4

Aplicar as identidades do Passo 3 com \theta=\omega_0 t e \theta=3\omega_0 t, lembrando que \omega_0=\dfrac{\pi}{2}.
  • Para o termo de cosseno:
\cos\!\left(\frac{\pi}{2}t\right)=\cos(\omega_0 t)=\frac{e^{j\omega_0 t}+e^{-j\omega_0 t}}{2}.
  • Para o termo de seno:
\operatorname{sen}\!\left(\frac{3\pi}{2}t\right)=\sin(3\omega_0 t)=\frac{e^{j3\omega_0 t}-e^{-j3\omega_0 t}}{2j}.
  • Então a função f(t) fica
f(t)=\frac{e^{j\omega_0 t}+e^{-j\omega_0 t}}{2} - \frac{e^{j3\omega_0 t}-e^{-j3\omega_0 t}}{2j}.

Passo 5

Organizar f(t) como soma de termos c_n e^{j n \omega_0 t} e identificar os coeficientes c_n.
  • Escrevendo termo a termo:
f(t)=\underbrace{\frac{1}{2}}_{c_{1}}e^{j1\omega_0 t} +\underbrace{\frac{1}{2}}_{c_{-1}}e^{-j1\omega_0 t} +\underbrace{\left(-\frac{1}{2j}\right)}_{c_{3}}e^{j3\omega_0 t} +\underbrace{\left(\frac{1}{2j}\right)}_{c_{-3}}e^{-j3\omega_0 t}.
  • Simplificações com números complexos: usar 1/j=-j. Assim
-\frac{1}{2j} = \frac{j}{2},\qquad \frac{1}{2j}=-\frac{j}{2}.
  • Portanto os coeficientes não nulos são
c_{1}=\frac{1}{2},\quad c_{-1}=\frac{1}{2},\quad c_{3}=\frac{j}{2},\quad c_{-3}=-\frac{j}{2},
e para todo n diferente de \pm 1,\pm 3 temos c_n=0.

Passo 6

Breve verificação via fórmula integral (opcional, para fixar o conceito):
  • A fórmula geral para os coeficientes da série exponencial é
c_n=\frac{1}{T}\int_{T} f(t)\,e^{-j n \omega_0 t}\,dt,
onde T é o período e \omega_0=2\pi/T. Aqui T=4 e \omega_0=\pi/2.
  • Se aplicarmos a integral para, por exemplo, n=1, os termos ortogonais fazem com que só o contributo do e^{j\omega_0 t} apareça e dê c_1=\tfrac{1}{2}; para n=3 surge c_3=\tfrac{j}{2}. Isso confirma os coeficientes encontrados na expansão direta (a integral é só uma verificação do princípio de ortogonalidade dos exponenciais).

Passo 7

Escrever a série exponencial completa usando os coeficientes encontrados:
f(t)=\frac{1}{2}e^{j\omega_0 t}+\frac{1}{2}e^{-j\omega_0 t}+\frac{j}{2}e^{j3\omega_0 t}-\frac{j}{2}e^{-j3\omega_0 t},
com \omega_0=\dfrac{\pi}{2}. Alternativamente, em termos da soma infinita padrão:
f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n\,e^{j n (\pi/2) t},
onde c_{\pm1} e c_{\pm3} são os indicados e os demais c_n valem zero.

Resposta

f(t)=\frac{1}{2}e^{j(\pi/2)t}+\frac{1}{2}e^{-j(\pi/2)t}+\frac{j}{2}e^{j3(\pi/2)t}-\frac{j}{2}e^{-j3(\pi/2)t}
Coeficientes não nulos:
c_{1}=\frac{1}{2},\quad c_{-1}=\frac{1}{2},\quad c_{3}=\frac{j}{2},\quad c_{-3}=-\frac{j}{2},
e c_n=0 para n\neq \pm1,\pm3.

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