Exercício 6. Obtenha a forma exponencial da série de Fourier das funções dadas por
(b) f(t)=\cos (\pi t)-\operatorname{sen}(\pi t)

Passo 1

O enunciado pede: obter a forma exponencial da série de Fourier da função f(t)=\cos(\pi t)-\sin(\pi t).\n
Informações dadas e o que precisamos encontrar:\n
  • A função é f(t)=\cos(\pi t)-\sin(\pi t).\n
  • A tarefa é escrever f(t) na forma\n f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{j n \omega_0 t}
e determinar os coeficientes complexos c_n.\n
Nada mais será assumido: vamos identificar o período, a frequência fundamental e calcular os coeficientes passo a passo.

Passo 2

Primeira coisa: encontrar o período T e a frequência angular fundamental \omega_0.\n
  • A função \cos(\pi t) tem período T tal que \pi (t+T)=\pi t + 2\pi, logo T=2.\n
  • A mesma conclusão vale para \sin(\pi t); então a função f(t) é periódica com T=2.\n
  • A frequência angular fundamental é
\omega_0=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{2}=\pi.
Portanto a série exponencial será em termos de e^{j n \pi t}.\n
Lembrete útil (definição): os coeficientes da série exponencial são dados por
c_n=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} f(t)\,e^{-j n \omega_0 t}\,dt,
onde T é o período (a integral pode ser em qualquer intervalo de comprimento T).

Passo 3

Método prático: como f(t) já é soma de senos e cossenos com frequência \pi, é muito mais simples usar as fórmulas de Euler para escrever cada termo como soma de exponenciais complexas (isso evita integrar):\n
As fórmulas de Euler que vamos usar são
\cos(\theta)=\frac{e^{j\theta}+e^{-j\theta}}{2}, \qquad \sin(\theta)=\frac{e^{j\theta}-e^{-j\theta}}{2j},
onde \theta=\pi t no nosso caso.\n
Substituindo em f(t):
\cos(\pi t)=\frac{e^{j\pi t}+e^{-j\pi t}}{2}, \qquad \sin(\pi t)=\frac{e^{j\pi t}-e^{-j\pi t}}{2j}.
Então
f(t)=\frac{e^{j\pi t}+e^{-j\pi t}}{2}-\frac{e^{j\pi t}-e^{-j\pi t}}{2j}.

Passo 4

Agora vamos agrupar os termos em e^{j\pi t} e e^{-j\pi t} e identificar os coeficientes.\n
Escrevendo separadamente os coeficientes de cada exponencial:
  • Coeficiente de e^{j\pi t}: \displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{2j}.
  • Coeficiente de e^{-j\pi t}: \displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{2j}.\n
    Portanto
f(t)=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2j}\right)e^{j\pi t}+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2j}\right)e^{-j\pi t}.

Passo 5

Vamos simplificar os coeficientes usando a identidade 1/j=-j (porque j\cdot j=j^2=-1, logo 1/j=j/(j^2)=j/(-1)=-j).\n
Aplicando isso:
\frac{1}{2}-\frac{1}{2j}=\frac{1}{2}-\left(\frac{1}{2}\cdot(-j)\right)=\frac{1}{2}+\frac{j}{2}=\frac{1+j}{2},
\frac{1}{2}+\frac{1}{2j}=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\cdot(-j)\right)=\frac{1}{2}-\frac{j}{2}=\frac{1-j}{2}.
Logo os coeficientes ficam bem simples: \frac{1+j}{2} para e^{j\pi t} e \frac{1-j}{2} para e^{-j\pi t}.\n
Todos os outros harmônicos (ou seja, e^{j n\pi t} com n\neq\pm1) não aparecem na expansão, portanto seus coeficientes são zero.

Passo 6

Interpretação final e verificação rápida:\n
  • A série exponencial tem apenas duas componentes não-nulas: as harmônicas n=1 e n=-1.\n
  • Observação de consistência: c_{-1}=\overline{c_1}, o que garante que f(t) seja real (bom sinal).\n
  • Podemos escrever a série completa como soma sobre todos os n, com a maioria dos coeficientes zero.

Resposta

f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{j n \pi t},
com
c_{1}=\frac{1+j}{2},
c_{-1}=\frac{1-j}{2},
c_n=0\quad\text{para todo }n\neq\pm 1.

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