Exercício 6. Obtenha a forma exponencial da série de Fourier das funções dadas por
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede: obter a forma exponencial da série de Fourier da função
.\n
Informações dadas e o que precisamos encontrar:\n
Informações dadas e o que precisamos encontrar:\n
- A função é
.\n - A tarefa é escrever
na forma\n
e determinar os coeficientes complexos
.\n
Nada mais será assumido: vamos identificar o período, a frequência fundamental e calcular os coeficientes passo a passo.
Nada mais será assumido: vamos identificar o período, a frequência fundamental e calcular os coeficientes passo a passo.
Passo 2
Primeira coisa: encontrar o período
e a frequência angular fundamental
.\n
- A função
tem período tal que , logo .\n - A mesma conclusão vale para
; então a função é periódica com .\n - A frequência angular fundamental é
Portanto a série exponencial será em termos de
.\n
Lembrete útil (definição): os coeficientes da série exponencial são dados por
Lembrete útil (definição): os coeficientes da série exponencial são dados por
onde
é o período (a integral pode ser em qualquer intervalo de comprimento
).
Passo 3
Método prático: como
já é soma de senos e cossenos com frequência
, é muito mais simples usar as fórmulas de Euler para escrever cada termo como soma de exponenciais complexas (isso evita integrar):\n
As fórmulas de Euler que vamos usar são
As fórmulas de Euler que vamos usar são
onde
no nosso caso.\n
Substituindo em :
Substituindo em
Então
Passo 4
Agora vamos agrupar os termos em
e
e identificar os coeficientes.\n
Escrevendo separadamente os coeficientes de cada exponencial:
Escrevendo separadamente os coeficientes de cada exponencial:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: \n
Portanto
Passo 5
Vamos simplificar os coeficientes usando a identidade
(porque
, logo
).\n
Aplicando isso:
Aplicando isso:
Logo os coeficientes ficam bem simples:
para
e
para
.\n
Todos os outros harmônicos (ou seja, com
) não aparecem na expansão, portanto seus coeficientes são zero.
Todos os outros harmônicos (ou seja,
Passo 6
Interpretação final e verificação rápida:\n
- A série exponencial tem apenas duas componentes não-nulas: as harmônicas
e .\n - Observação de consistência:
, o que garante que seja real (bom sinal).\n - Podemos escrever a série completa como soma sobre todos os
, com a maioria dos coeficientes zero.
Resposta
com