Exercício 1. (6,0 pontos)

Os dados a seguir referem-se à precipitação pluviométrica anual x, \mathrm{em} \mathrm{cm}, \mathrm{e} à colheita de algodão y, \mathrm{~cm} quilograma por hectare, em certa localidade. Pede-se: (a) calcular e interpretar o coeficiente de correlação; (b) testar a existência de correlação entre a colheita de algodão e a precipitação pluviométrica; (c) utilizar u m modelo de regressão linear para explicar a colheita de algodão através da precipitação pluviométrica anual, determinar o coeficiente de explicação ou de determinação e interpretar o resultado.
Precipitação Amual (x) 18 159 120 115 22 128 111
Colheita Algodão (y) 520 190 208 213 310 194 160

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (cada par x,y corresponde à precipitação anual em \mathrm{cm} e à colheita de algodão em \mathrm{kg/ha}):
\begin{array}{c|ccccccc} x & 18 & 159 & 120 & 115 & 22 & 128 & 111\\hline y & 520 & 190 & 208 & 213 & 310 & 194 & 160 \end{array}
Informações calculáveis que eu vou usar (tiradas dos dados acima):
n=7,\quad \sum x=673,\quad \sum y=1795,
\sum x^2=82419,\quad \sum y^2=554469,\quad \sum xy=138437.
O enunciado pede:
(a) calcular e interpretar o coeficiente de correlação entre x e y;
(b) testar a existência de correlação entre colheita e precipitação (teste de significância);
(c) ajustar um modelo de regressão linear simples y em função de x, determinar o coeficiente de determinação e interpretar.

Passo 2

Preparar as fórmulas e explicar o que vamos calcular.
  • Média amostral de x e de y. Estas médias resumem o “centro” dos dados e são usadas nas fórmulas de variância/covariância.
\bar{x}=\frac{\sum x}{n},\qquad \bar{y}=\frac{\sum y}{n}.
  • Soma de quadrados e covariância (usadas para correlação e regressão). Explicando:
    • \,S_{xx}=\sum (x-\bar{x})^2 = \sum x^2 - \dfrac{(\sum x)^2}{n}\, é a variabilidade total de x.
    • \,S_{yy}=\sum (y-\bar{y})^2 = \sum y^2 - \dfrac{(\sum y)^2}{n}\, é a variabilidade total de y.
    • \,S_{xy}=\sum (x-\bar{x})(y-\bar{y}) = \sum xy - \dfrac{(\sum x)(\sum y)}{n}\, mede a associação linear entre x e y.
  • Coeficiente de correlação de Pearson:
r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\,S_{yy}}}.
Isto dá um número entre -1 e 1; próximo de -1 indica forte relação linear negativa, próximo de +1 indica forte positiva, e próximo de 0 indica pouca relação linear.
Agora calculo as médias numéricas:
\bar{x}=\frac{673}{7}=96,142857\ldots,\qquad \bar{y}=\frac{1795}{7}=256,428571\ldots

Passo 3

Calcular S_{xx}, S_{yy} e S_{xy} passo a passo (mostrando origem das fórmulas).
Usando as fórmulas:
S_{xx}=\sum x^2 - \frac{(\sum x)^2}{n} = 82419 - \frac{673^2}{7}.
673^2=452929\quad\Rightarrow\quad \frac{673^2}{7}=64704,142857\ldots
S_{xx}=82419-64704,142857\ldots=17714,857143\ldots
S_{yy}=\sum y^2 - \frac{(\sum y)^2}{n} = 554469 - \frac{1795^2}{7}.
1795^2=3222025\quad\Rightarrow\quad \frac{1795^2}{7}=460289,285714\ldots
S_{yy}=554469-460289,285714\ldots=94179,714286\ldots
S_{xy}=\sum xy - \frac{(\sum x)(\sum y)}{n} = 138437 - \frac{673\cdot1795}{7}.
673\cdot1795=1208035\quad\Rightarrow\quad \frac{673\cdot1795}{7}=172576,428571\ldots
S_{xy}=138437-172576,428571\ldots=-34139,428571\ldots
Resumo numérico:
S_{xx}\approx17714,857143,\quad S_{yy}\approx94179,714286,\quad S_{xy}\approx-34139,428571.

Passo 4

Calcular o coeficiente de correlação r e interpretar matematicamente o que isso significa.
Aplicando
r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}.
Substituindo os valores:
r\approx\frac{-34139,428571}{\sqrt{17714,857143\cdot94179,714286}}.
Calculei o valor numérico (detalhes das multiplicações omitidos por economia de espaço na conta manual, mas todos os termos usados acima vêm dos dados):
r\approx -0,836\quad(\text{arredondado a três casas decimais}).ê
Interpretação: r\approx -0,836 indica uma correlação linear negativa forte entre precipitação anual x e colheita y: conforme x aumenta, y tende a diminuir de forma aproximadamente linear.

Passo 5

Testar a significância da correlação (parte (b)). Explicar o teste.
Hipóteses:
\begin{aligned} H_0:&\\ \rho=0\quad(\text{sem correlação linear na população})\\\ H_1:&\\ \rho\neq0\quad(\text{existe correlação linear}) \end{aligned}çãçãçã
Estatística de teste (transforma r em t com n-2 graus de liberdade):
t=\frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}.
Aqui n=7 então n-2=5.
Substituindo r:
t\approx\frac{-0,836\sqrt{5}}{\sqrt{1-0,836^2}}\approx -3,405\quad(\text{valor absoluto }|t|\approx 3,405).
Comparação com valor crítico: para nível de significância \alpha=0,05 (teste bilateral) e df=5 tem-se t_{0,025,5}\approx 2,571. Como |t|=3,405>2,571, rejeitamos H_0 ao nível de 5\%. O p-valor aproximado é p\approx 0,018 (menor que 0,05), então a correlação é estatisticamente significativa ao nível de 5\% (mas não é significativa ao nível de 0,01, pois t_{0,005,5}\approx 4,032).
Conclusão do teste: existe evidência estatística de correlação linear entre precipitação e colheita; a correlação é negativa e significativa.

Passo 6

Ajustar o modelo de regressão linear simples y em função de x (parte (c)). Explicar a ideia do método dos mínimos quadrados.
O modelo linear é
y = b_0 + b_1 x + \varepsilon,
onde b_1 (coeficiente angular) e b_0 (intercepto) são estimados pelos mínimos quadrados:
b_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad b_0=\bar{y}-b_1\bar{x}.
Isto minimiza a soma dos quadrados dos resíduos \sum (y_i - b_0 - b_1 x_i)^2.
Calculemos os coeficientes:
b_1\approx\frac{-34139,428571}{17714,857143}\approx -1,927\quad(\text{kg/ha por cm de chuva}).
b_0\approx 256,428571 - (-1,927)\cdot96,142857 \approx 441,706.
Assim a reta ajustada é (arredondando):
\hat{y}=441,706 - 1,927\,x.
Interpretação do coeficiente angular: para cada aumento de 1\\ \mathrm{cm} na precipitação anual, o modelo prevê, em média, uma redução de aproximadamente 1,927\\ \mathrm{kg/ha} na colheita de algodão (segundo os dados e o modelo linear ajustado).

Passo 7

Determinar o coeficiente de determinação R^2 e interpretar.
O coeficiente de determinação é
R^2 = r^2.
Com r\approx -0,836,
R^2 \approx (-0,836)^2 \approx 0,699\quad(\text{arredondado}).
Interpretação: cerca de 69,9\% da variabilidade observada na colheita y pode ser explicada por uma relação linear com a precipitação x segundo este modelo. O restante, aproximadamente 30,1\%, é variabilidade não explicada pelo modelo (devida a outros fatores, variabilidade aleatória ou inadequação do modelo linear).

Passo 8

Resumo prático e observações para a prova (como aplicar isto rápido em uma prova):
  • Calcule \sum x,\sum y,\sum x^2,\sum y^2,\sum xy e n. Com esses já se obtém \bar{x},\bar{y},S_{xx},S_{yy},S_{xy}.
  • Use r=\dfrac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}} para a correlação.
  • Para testar, transforme r em t=\dfrac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}} e compare com t_{\,\alpha/2,n-2}.
  • Para regressão, b_1=S_{xy}/S_{xx} e b_0=\bar{y}-b_1\bar{x}.
  • R^2=r^2 dá a fração da variância explicada.

Resposta

(a) r\approx -0,836 (correlação linear negativa forte).
(b) Teste t: |t|\approx 3,405, p\approx 0,018. Rejeita-se H_0 ao nível \alpha=0,05 — existe correlação linear significativa (negativa).
(c) Regressão: \displaystyle \hat{y}=441,706-1,927\,x. Coeficiente de determinação: R^2\approx 0,699 (aprox. 69,9\% da variabilidade de y explicada pelo x).

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