Exercício 1. (6,0 pontos)
Os dados a seguir referem-se à precipitação pluviométrica anual
à colheita de algodão
quilograma por hectare, em certa localidade. Pede-se: (a) calcular e interpretar o coeficiente de correlação; (b) testar a existência de correlação entre a colheita de algodão e a precipitação pluviométrica; (c) utilizar
modelo de regressão linear para explicar a colheita de algodão através da precipitação pluviométrica anual, determinar o coeficiente de explicação ou de determinação e interpretar o resultado.
Precipitação Amual
18
159
120
115
22
128
111
Colheita Algodão
520
190
208
213
310
194
160
| Precipitação Amual
|
18 | 159 | 120 | 115 | 22 | 128 | 111 |
| Colheita Algodão
|
520 | 190 | 208 | 213 | 310 | 194 | 160 |
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (cada par
corresponde à precipitação anual em
e à colheita de algodão em
):
Informações calculáveis que eu vou usar (tiradas dos dados acima):
O enunciado pede:
(a) calcular e interpretar o coeficiente de correlação entre e
;
(b) testar a existência de correlação entre colheita e precipitação (teste de significância);
(c) ajustar um modelo de regressão linear simples em função de
, determinar o coeficiente de determinação e interpretar.
(a) calcular e interpretar o coeficiente de correlação entre
(b) testar a existência de correlação entre colheita e precipitação (teste de significância);
(c) ajustar um modelo de regressão linear simples
Passo 2
Preparar as fórmulas e explicar o que vamos calcular.
- Média amostral de
e de . Estas médias resumem o “centro” dos dados e são usadas nas fórmulas de variância/covariância.
-
Soma de quadrados e covariância (usadas para correlação e regressão). Explicando:
-
é a variabilidade total de . -
é a variabilidade total de . -
mede a associação linear entre e .
-
-
Coeficiente de correlação de Pearson:
Isto dá um número entre
e
; próximo de
indica forte relação linear negativa, próximo de
indica forte positiva, e próximo de
indica pouca relação linear.
Agora calculo as médias numéricas:
Passo 3
Calcular
,
e
passo a passo (mostrando origem das fórmulas).
Usando as fórmulas:
Resumo numérico:
Passo 4
Calcular o coeficiente de correlação
e interpretar matematicamente o que isso significa.
Aplicando
Substituindo os valores:
Calculei o valor numérico (detalhes das multiplicações omitidos por economia de espaço na conta manual, mas todos os termos usados acima vêm dos dados):
Interpretação:
indica uma correlação linear negativa forte entre precipitação anual
e colheita
: conforme
aumenta,
tende a diminuir de forma aproximadamente linear.
Passo 5
Testar a significância da correlação (parte (b)). Explicar o teste.
Hipóteses:
Estatística de teste (transforma
em
com
graus de liberdade):
Aqui
então
.
Substituindo
:
Comparação com valor crítico: para nível de significância
(teste bilateral) e
tem-se
. Como
, rejeitamos
ao nível de
. O p-valor aproximado é
(menor que
), então a correlação é estatisticamente significativa ao nível de
(mas não é significativa ao nível de
, pois
).
Conclusão do teste: existe evidência estatística de correlação linear entre precipitação e colheita; a correlação é negativa e significativa.
Passo 6
Ajustar o modelo de regressão linear simples
em função de
(parte (c)). Explicar a ideia do método dos mínimos quadrados.
O modelo linear é
onde
(coeficiente angular) e
(intercepto) são estimados pelos mínimos quadrados:
Isto minimiza a soma dos quadrados dos resíduos
.
Calculemos os coeficientes:
Assim a reta ajustada é (arredondando):
Interpretação do coeficiente angular: para cada aumento de
na precipitação anual, o modelo prevê, em média, uma redução de aproximadamente
na colheita de algodão (segundo os dados e o modelo linear ajustado).
Passo 7
Determinar o coeficiente de determinação
e interpretar.
O coeficiente de determinação é
Com
,
Interpretação: cerca de
da variabilidade observada na colheita
pode ser explicada por uma relação linear com a precipitação
segundo este modelo. O restante, aproximadamente
, é variabilidade não explicada pelo modelo (devida a outros fatores, variabilidade aleatória ou inadequação do modelo linear).
Passo 8
Resumo prático e observações para a prova (como aplicar isto rápido em uma prova):
- Calcule
e . Com esses já se obtém . - Use
para a correlação. - Para testar, transforme
em e compare com . - Para regressão,
e . -
dá a fração da variância explicada.
Resposta
(a)
(correlação linear negativa forte).
(b) Teste :
,
. Rejeita-se
ao nível
— existe correlação linear significativa (negativa).
(c) Regressão: Coeficiente de determinação:
(aprox.
da variabilidade de
explicada pelo
).
(b) Teste
(c) Regressão: