Para um teste de hipóteses
H_{0} : Média =7
H_{a} : Média > 7
Com \mathrm{n}=20, média 7,5 e desvio padrão de 0,6. Calcule o valor observado e compare com o valor crítico. Considere \alpha=0,05.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular o valor observado do teste (o estatístico calculado com os dados) e comparar esse valor com o valor crítico para decidir sobre a hipótese. Os dados fornecidos são:
  • Hipóteses: H_0: média =7 e H_a: média >7.
  • Tamanho da amostra: n=20.
  • Média amostral: \bar{x}=7{,}5.
  • Desvio padrão amostral: s=0{,}6.
  • Nível de significância: \alpha=0{,}05.
O que vou entregar: (1) o valor observado do estatístico de teste; (2) o valor crítico correspondente a um teste unilateral à direita com \alpha=0{,}05 e n-1 graus de liberdade; (3) a conclusão (rejeitar ou não H_0).

Passo 2

Qual teste usar e por quê (explicação didática):
  • Temos uma amostra e queremos testar a média populacional. A variância/população não foi dada, apenas o desvio amostral s. Portanto não podemos usar o teste z (que precisa do desvio padrão populacional).
  • Como n=20 (pequena) e s é amostral, usa-se o teste t de Student para uma amostra.
  • O estatístico t de uma amostra é dado por:
t_{\text{obs}}=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}
onde:
  • \bar{x} é a média da amostra (aqui \bar{x}=7{,}5);
  • \mu_0 é a média sob H_0 (aqui \mu_0=7);
  • s é o desvio padrão amostral (aqui s=0{,}6);
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=20);
  • A razão s/\sqrt{n} é o erro padrão da média: diz quanto a média amostral costuma variar em torno da média populacional.
  • Os graus de liberdade para a t são \text{df}=n-1 (aqui \text{df}=19).
  • Como H_a é média >7, o teste é unilateral à direita. Então o valor crítico é t_{1-\alpha,\;\text{df}} (o quantil que deixa área \alpha à sua direita).

Passo 3

Calcular passo a passo o numerador e o denominador do estatístico:
  • Diferença entre médias:
\bar{x}-\mu_0 = 7{,}5-7 = 0{,}5.
  • Erro padrão da média:
\sqrt{n}=\sqrt{20}\approx 4{,}472135955,
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{0{,}6}{\sqrt{20}}\approx \frac{0{,}6}{4{,}472135955}\approx 0{,}134164\!.
  • Agora o estatístico:
t_{\text{obs}}=\frac{0{,}5}{0{,}134164}\approx 3{,}72678\approx 3{,}727.

Passo 4

Determinar o valor crítico para \alpha=0{,}05 no teste unilateral à direita com \text{df}=19:
  • Procuramos t_{0{,}95,\,19}, ou seja, o valor tal que P(T>t_{0{,}95,\,19})=0{,}05 para T\sim t_{19}.
  • Pela tabela de t (ou conhecimento padrão),
t_{0{,}95,\,19}\approx 1{,}729.

Passo 5

Comparação e decisão (explicação didática):
  • Temos \;t_{\text{obs}}\approx 3{,}727 e \;t_{\text{crítico}}\approx 1{,}729í.
  • Regra do teste (unilateral à direita): rejeita-se H_0 se t_{\text{obs}}>t_{\text{crítico}}í.
  • Aqui 3{,}727>1{,}729, logo rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0{,}05. Em palavras: os dados fornecem evidência estatisticamente significativa, ao nível de 5\%, de que a média é maior que 7.
  • Sobre o p‑valor (para intuição): o p‑valor é P(T_{19}>3{,}727), muito pequeno (aproximadamente 0{,}001 ou menos). Isso reforça que a evidência contra H_0 é forte.

Resposta

t_{\text{obs}}\approx 3{,}727
t_{\text{crítico}}\approx 1{,}729í \Rightarrow Rejeita-se H_0 ao nível \alpha=0{,}05 (há evidência de que a média >7).

Exercícios relacionados