EXERCÍCIO PRÁTICO 3.3
Determine o gradiente dos seguintes campos escalares:
f=\cos \theta \operatorname{sen} \varphi \ln r+r^{2} \varphi

Passo 1

O enunciado pede o gradiente do campo escalar
f(r,theta,phi)=costheta;sinphi;ln r ;+;r^2,phi
em coordenadas esféricas. Para isso precisamos usar a definição de gradiente em coordenadas esféricas, que é
nabla f = er ,partial fpartial r + etheta ,1r,partial fpartial theta + ephi ,1rsintheta,partial fpartial phi

Passo 2

Calculamos a derivada parcial de f em relação a r:
partial fpartial r = costheta;sinphi;1r + 2,r,phi

Passo 3

Calculamos a derivada parcial de f em relação a theta:
partial fpartial theta = -sintheta;sinphi;ln r
pois o termo r^2phi não depende de theta.

Passo 4

Calculamos a derivada parcial de f em relação a phi:
partial fpartial phi = costheta;cosphi;ln r + r^2
pois diferenciamos sinphi e phi.

Passo 5

Agora substituímos as parciais na fórmula do gradiente:
nabla f = erl(costheta,sinphi,1r+2rphir) + ethetal(1r,(-sintheta,sinphi,ln r)r) + ephil(1rsintheta,(costheta,cosphi,ln r + r^2)r)

Resposta

nabla f = erl(costheta,sinphir+2rphir) - ethetal(sintheta,sinphi,ln rrr) + ephil(costheta,cosphi,ln r + r^2r,sinthetar)

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