EXERCÍCIO PRÁTICO 3.3
Determine o gradiente dos seguintes campos escalares:
V=\rho z \operatorname{sen} \varphi+z^{2} \cos ^{2} \varphi+\rho^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá o campo escalar em coordenadas cilíndricas
V(rho,phi,z)=rho,zsinphi ;+;z^2cos^2phi;+;rho^2
e pede o gradiente nabla V. O conteúdo aqui é cálculo vetorial em coordenadas cilíndricas, usando a expressão do gradiente para V(rho,phi,z).

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas (rho,phi,z), a fórmula do gradiente de um escalar V é
nabla V = erho,partial Vpartial rho + ephi,1rho,partial Vpartial phi + ez,partial Vpartial z

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a rho:
partial Vpartial rho = partialpartial rhol(rho,zsinphi + z^2cos^2phi + rho^2r) = zsinphi ;+;2rho

Passo 4

Calculando a derivada parcial em relação a phi:
partial Vpartial phi = partialpartial phil(rho,zsinphi + z^2cos^2phi + rho^2r) = rho,zcosphi ;+;2,z^2cosphi,( -sinphi) = rho,zcosphi ;-;2,z^2cosphi,sinphi

Passo 5

Calculando a derivada parcial em relação a z:
partial Vpartial z = partialpartial zl(rho,zsinphi + z^2cos^2phi + rho^2r) = rho,sinphi ;+;2,zcos^2phi

Passo 6

Substituindo essas derivadas na expressão do gradiente e simplificando o componente azimutal:
nabla V = erho,(zsinphi + 2rho) + ephi,1rhol(rho,zcosphi - 2,z^2cosphi,sinphir) + ez,(rhosinphi + 2zcos^2phi)
nabla V = erho,(zsinphi + 2rho) + ephi,l(zcosphi - 2,z^2cosphi,sinphirhor) + ez,(rhosinphi + 2zcos^2phi)

Resposta

nabla V = erho,(zsinphi + 2rho) + ephi,l(zcosphi - 2,z^2cosphi,sinphirhor) + ez,(rhosinphi + 2zcos^2phi)

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