Exercício 4. Quais das proposições abaixo são verdadeiras?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pede que identifiquemos, para cada uma das proposições (a)–(e), se ela é verdadeira ou falsa. As proposições são:
- (a)
- (b)
- (c)
- (d)
- (e)
Lista das informações relevantes dadas pelo enunciado:
- São expressões envolvendo as notações de conjuntos
(números naturais) e (números inteiros). - Precisamos decidir a veracidade de cada afirmação sobre pertinência a esses conjuntos.
Passo 2
Definições e convenção que vou usar (importante para interpretar (a)):
- Vou adotar a convenção mais comum em muitos cursos e textos de graduação:
— isto é, os números naturais incluem o zero.
Observação curta: existe outra convenção em que; quando isso ocorre, a proposição (a) seria falsa. Aqui sigo a convenção com zero porque é a adotada em muitas provas e facilita alguns argumentos básicos. - Definição de inteiros:
. - Definição de diferença de conjuntos:
é o conjunto dos elementos que estão em e não estão em . - Regras aritméticas básicas com sinais:
- Produto de dois negativos é positivo.
- Potência de número inteiro:
significa multiplicar por .
Passo 3
Análise da proposição (a):
.
- Pela convenção escolhida no Passo 2,
. Então está explicitamente na lista de elementos de . - Conclusão lógica: sob esta convenção, (a) é verdadeira.
- Nota didática: se a convenção fosse
, aí e (a) seria falsa. Em provas, quando houver ambiguidade, valem as informações do enunciado; na falta delas, informe a convenção adotada (como fiz aqui).
Passo 4
Análise da proposição (b):
.
- Calcular a expressão:
. - Pelo que é
(números naturais são não negativos: ), o número não é natural. - Portanto (b) é falsa.
- Dica prática: sempre simplificar a expressão aritmética primeiro e depois verificar a pertinência ao conjunto.
Passo 5
Análise da proposição (c):
.
- Interpretar a afirmação: dizer
significa que todo elemento de também é elemento de . - Pela definição de
(conjunto que contém todos os inteiros negativos, zero e inteiros positivos) e sabendo que contém , cada natural é de fato um inteiro. - Exemplo:
e também ; idem para . - Logo,
é verdadeiro. - Observação didática: isso é uma inclusão de conjuntos simples — todos os naturais são inteiros.
Passo 6
Análise da proposição (d):
.
- Calcular a expressão:
. - Agora verificar a condição
: isso exige que o número esteja em e ao mesmo tempo NÃO esteja em . - Sabemos que
(é inteiro) e, como é um inteiro não negativo, também pela convenção adotada. - Logo
está em , portanto não está em . - Conclusão: a proposição (d) é falsa.
- Observação: é útil lembrar que
contém os inteiros negativos (e só eles quando inclui ); assim um quadrado de inteiro que seja positivo normalmente não pertence à diferença.
Passo 7
Análise da proposição (e):
.
- Calcular o produto:
(pois produto de dois números negativos é positivo). - Verificar se
: sendo um inteiro não negativo, pela convenção . - Portanto (e) é verdadeira.
- Comentário didático: é comum usar propriedades de sinais e a definição de
para responder questões assim sem complicação.
Resposta
(a) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Falsa
(e) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Falsa
(e) Verdadeira