Exercício 4. Quais das proposições abaixo são verdadeiras?
(a) 0 \in \mathbb{N}
(b) (2-3) \in \mathbb{N}
(c) \mathbb{N} \subset \mathbb{Z}
(d) (-3)^{2} \in \mathbb{Z} \backslash \mathbb{N}
(e) (-4) \cdot(-5) \in \mathbb{N}

Passo 1

O enunciado pede que identifiquemos, para cada uma das proposições (a)–(e), se ela é verdadeira ou falsa. As proposições são:
  • (a) 0 \in \mathbb{N}
  • (b) (2-3) \in \mathbb{N}
  • (c) \mathbb{N} \subset \mathbb{Z}
  • (d) (-3)^{2} \in \mathbb{Z} \backslash \mathbb{N}
  • (e) (-4) \cdot(-5) \in \mathbb{N}
Lista das informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • São expressões envolvendo as notações de conjuntos \mathbb{N} (números naturais) e \mathbb{Z} (números inteiros).
  • Precisamos decidir a veracidade de cada afirmação sobre pertinência a esses conjuntos.

Passo 2

Definições e convenção que vou usar (importante para interpretar (a)):
  • Vou adotar a convenção mais comum em muitos cursos e textos de graduação: \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\} — isto é, os números naturais incluem o zero.
    Observação curta: existe outra convenção em que \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}; quando isso ocorre, a proposição (a) seria falsa. Aqui sigo a convenção com zero porque é a adotada em muitas provas e facilita alguns argumentos básicos.
  • Definição de inteiros: \mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}.
  • Definição de diferença de conjuntos: \mathbb{Z}\setminus\mathbb{N} é o conjunto dos elementos que estão em \mathbb{Z} e não estão em \mathbb{N}.
  • Regras aritméticas básicas com sinais:
    • Produto de dois negativos é positivo.
    • Potência de número inteiro: (-3)^2 significa multiplicar -3 por -3.

Passo 3

Análise da proposição (a): 0 \in \mathbb{N}.
  • Pela convenção escolhida no Passo 2, \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}. Então 0 está explicitamente na lista de elementos de \mathbb{N}.
  • Conclusão lógica: sob esta convenção, (a) é verdadeira.
  • Nota didática: se a convenção fosse \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}, aí 0\notin\mathbb{N} e (a) seria falsa. Em provas, quando houver ambiguidade, valem as informações do enunciado; na falta delas, informe a convenção adotada (como fiz aqui).

Passo 4

Análise da proposição (b): (2-3) \in \mathbb{N}.
  • Calcular a expressão: 2-3 = -1.
  • Pelo que é \mathbb{N} (números naturais são não negativos: 0,1,2,\dots), o número -1 não é natural.
  • Portanto (b) é falsa.
  • Dica prática: sempre simplificar a expressão aritmética primeiro e depois verificar a pertinência ao conjunto.

Passo 5

Análise da proposição (c): \mathbb{N} \subset \mathbb{Z}.
  • Interpretar a afirmação: dizer \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} significa que todo elemento de \mathbb{N} também é elemento de \mathbb{Z}.
  • Pela definição de \mathbb{Z} (conjunto que contém todos os inteiros negativos, zero e inteiros positivos) e sabendo que \mathbb{N} contém 0,1,2,\dots, cada natural é de fato um inteiro.
  • Exemplo: 5\in\mathbb{N} e também 5\in\mathbb{Z}; idem para 0.
  • Logo, \mathbb{N}\subset\mathbb{Z} é verdadeiro.
  • Observação didática: isso é uma inclusão de conjuntos simples — todos os naturais são inteiros.

Passo 6

Análise da proposição (d): (-3)^{2} \in \mathbb{Z} \backslash \mathbb{N}.
  • Calcular a expressão: (-3)^{2} = (-3)\cdot(-3)=9.
  • Agora verificar a condição \in \mathbb{Z}\setminus\mathbb{N}: isso exige que o número esteja em \mathbb{Z} e ao mesmo tempo NÃO esteja em \mathbb{N}.
  • Sabemos que 9\in\mathbb{Z} (é inteiro) e, como 9 é um inteiro não negativo, também 9\in\mathbb{N} pela convenção adotada.
  • Logo 9 está em \mathbb{N}, portanto não está em \mathbb{Z}\setminus\mathbb{N}.
  • Conclusão: a proposição (d) é falsa.
  • Observação: é útil lembrar que \mathbb{Z}\setminus\mathbb{N} contém os inteiros negativos (e só eles quando \mathbb{N} inclui 0); assim um quadrado de inteiro que seja positivo normalmente não pertence à diferença.

Passo 7

Análise da proposição (e): (-4)\cdot(-5) \in \mathbb{N}.
  • Calcular o produto: (-4)\cdot(-5)=20 (pois produto de dois números negativos é positivo).
  • Verificar se 20\in\mathbb{N}: sendo 20 um inteiro não negativo, pela convenção 20\in\mathbb{N}.
  • Portanto (e) é verdadeira.
  • Comentário didático: é comum usar propriedades de sinais e a definição de \mathbb{N} para responder questões assim sem complicação.

Resposta

(a) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Falsa
(e) Verdadeira

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