Questão 2. Dada a curva definida implicitamente pela equação
y e^{x}-x+\sqrt{3}-1=0,
determine a equação da reta tangente à curva no ponto em que ela intercepta o eixo y.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva definida implicitamente pela equação
y e^{x}-x+\sqrt{3}-1=0.
O que se pede: determinar a equação da reta tangente à curva no ponto em que ela intercepta o eixo y.
Informações importantes fornecidas:
  • A equação implícita da curva é \,y e^{x}-x+\sqrt{3}-1=0.
  • A interceptação com o eixo y ocorre quando x=0.
  • A tarefa é achar a reta tangente à curva nesse ponto (ou seja, encontrar o ponto de tangência e a inclinação da reta nesse ponto, e então escrever a equação da reta).

Passo 2

Determinar o ponto de interseção com o eixo y.
Explicação rápida: um ponto do eixo y tem coordenada x=0. Então substitui-se x=0 na equação da curva para achar a ordenada y correspondente.
Substituindo x=0 em
y e^{x}-x+\sqrt{3}-1=0
obtemos
y e^{0}-0+\sqrt{3}-1=0.
Como e^{0}=1, isto dá
y + \sqrt{3}-1=0.
Logo
y = 1-\sqrt{3}.
Portanto o ponto de interseção com o eixo y é (x_0,y_0) = \bigl(0,\;1-\sqrt{3}\bigr).

Passo 3

Ensinando e aplicando diferenciação implícita para obter a derivada y'(x) (a inclinação da curva).
Conceito usado: quando uma curva é dada implicitamente por uma relação entre x e y(x), para encontrar y'(x)=\dfrac{dy}{dx} derivamos ambos os lados da equação em relação a x, tratando y como função de x.
Regra que precisaremos: produto de funções. Se u(x) e v(x) são funções, a derivada de u(x)v(x) é
\frac{d}{dx}\bigl(u v\bigr)=u'\,v + u\,v',
onde u'=\dfrac{du}{dx} e v'=\dfrac{dv}{dx}.
No nosso caso, o termo y e^{x} é produto de u(x)=y(x) e v(x)=e^{x}. Então
\frac{d}{dx}\bigl(y e^{x}\bigr)=y' e^{x} + y e^{x},
porque \dfrac{d}{dx}y=y' e \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Agora derivamos toda a equação \,y e^{x}-x+\sqrt{3}-1=0 termo a termo:
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(y e^{x}\bigr)=y' e^{x} + y e^{x},
  • \dfrac{d}{dx}(-x)=-1,
  • \dfrac{d}{dx}(\sqrt{3}-1)=0 porque é constante.
Somando, a derivada da expressão à esquerda é zero:
y' e^{x} + y e^{x} -1 = 0.
Agora isolamos y':
y' e^{x} = 1 - y e^{x}.
Dividindo por e^{x} (que é sempre diferente de zero), obtemos uma forma conveniente:
y' = e^{-x} - y.
Interpretação: para qualquer ponto (x,y) da curva, a inclinação da tangente é y'(x)=e^{-x}-y.

Passo 4

Avaliar a inclinação da tangente no ponto de interesse.
Já encontramos o ponto de interesse \bigl(0,\;1-\sqrt{3}\bigr). Usando a fórmula y'=e^{-x}-y, avaliamos em x=0 e y=1-\sqrt{3}:
Primeiro, e^{-0}=1. Então
y'(0)=1 - \bigl(1-\sqrt{3}\bigr).
Fazendo a conta:
y'(0)=1-1+\sqrt{3}=\sqrt{3}.
Portanto a inclinação da reta tangente no ponto pedido é m=\sqrt{3}.

Passo 5

Construir a equação da reta tangente usando a fórmula ponto-inclinação e os valores encontrados.
Fórmula padrão (ponto-inclinação): para uma reta que passa por (x_0,y_0) com inclinação m,
y - y_0 = m\,(x - x_0).
Aqui x_0=0, y_0=1-\sqrt{3} e m=\sqrt{3}. Na seção de resposta abaixo será escrita a equação da reta tangente já simplificada.

Resposta

y=\sqrt{3}\,x+1-\sqrt{3}

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