Questão 2. Dada a curva definida implicitamente pela equação
determine a equação da reta tangente à curva no ponto em que ela intercepta o eixo
.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva definida implicitamente pela equação
O que se pede: determinar a equação da reta tangente à curva no ponto em que ela intercepta o eixo
.
Informações importantes fornecidas:
- A equação implícita da curva é
. - A interceptação com o eixo
ocorre quando . - A tarefa é achar a reta tangente à curva nesse ponto (ou seja, encontrar o ponto de tangência e a inclinação da reta nesse ponto, e então escrever a equação da reta).
Passo 2
Determinar o ponto de interseção com o eixo
.
Explicação rápida: um ponto do eixo
tem coordenada
. Então substitui-se
na equação da curva para achar a ordenada
correspondente.
Substituindo
em
obtemos
Como
, isto dá
Logo
Portanto o ponto de interseção com o eixo
é
.
Passo 3
Ensinando e aplicando diferenciação implícita para obter a derivada
(a inclinação da curva).
Conceito usado: quando uma curva é dada implicitamente por uma relação entre
e
, para encontrar
derivamos ambos os lados da equação em relação a
, tratando
como função de
.
Regra que precisaremos: produto de funções. Se
e
são funções, a derivada de
é
onde
e
.
No nosso caso, o termo
é produto de
e
. Então
porque
e
.
Agora derivamos toda a equação
termo a termo:
-
, -
, -
porque é constante.
Somando, a derivada da expressão à esquerda é zero:
Agora isolamos
:
Dividindo por
(que é sempre diferente de zero), obtemos uma forma conveniente:
Interpretação: para qualquer ponto
da curva, a inclinação da tangente é
.
Passo 4
Avaliar a inclinação da tangente no ponto de interesse.
Já encontramos o ponto de interesse
. Usando a fórmula
, avaliamos em
e
:
Primeiro,
. Então
Fazendo a conta:
Portanto a inclinação da reta tangente no ponto pedido é
.
Passo 5
Construir a equação da reta tangente usando a fórmula ponto-inclinação e os valores encontrados.
Fórmula padrão (ponto-inclinação): para uma reta que passa por
com inclinação
,
Aqui
,
e
. Na seção de resposta abaixo será escrita a equação da reta tangente já simplificada.