Exercício proposto 22.6 Determine
e
a partir dos seguintes dados:
Passo 1
O enunciado pede para determinar
(fator pré-exponencial) e
(energia de ativação) a partir dos dados fornecidos. Dados relevantes (retirei-os do enunciado):
Também aparece entre colchetes no enunciado uma resposta indicada
— vou usar os dados acima para calcular
e
passo a passo.]
Passo 2
A relação que liga
,
e
é a equação de Arrhenius:
Explicando cada símbolo:
-
é a constante de velocidade (aqui em ); -
é o fator pré-exponencial (ou frequência de colisão), mesma unidade que ; -
é a energia de ativação (unidade: ou ); -
é a constante dos gases, ; -
é a temperatura em kelvin.
Para encontrar
e
linearizamos a equação tomando logaritmo natural:
Isto é uma equação linear da forma
com
e coeficiente angular
. Assim, se fizermos uma reta em função de
, a inclinação nos dá
e o intercepto nos dá
.
Passo 3
Para simplificar a conta manual (método rápido e frequentemente usado na prova) uso apenas os dois extremos dos dados (
e
). Isso dá uma estimativa muito boa quando os dados seguem bem a Arrhenius. Cálculos detalhados a seguir.
Passo 4
Calculo dos logaritmos naturais dos
escolhidos:
logo
Para
:
logo
Passo 5
Calculo de
para os mesmos pontos:
Passo 6
Cálculo da inclinação
da reta
versus
:
Numerador:
Denominador:
Portanto
Passo 7
Relação entre a inclinação e
é
. Assim,
Usando
:
Convertendo para
:
Passo 8
Agora determinamos
. Da equação linearizada:
Uso o ponto
(poderia usar qualquer outro; dá quase o mesmo resultado):
Logo
Passando para
:
Passo 9
Pequena verificação de consistência (opcional, só para dar confiança): prevejo
a
com os parâmetros obtidos.
portanto
, que é próximo do valor experimental
. A pequena diferença é esperada porque usei apenas os extremos (uma regressão com todos os pontos daria um ajuste ligeiramente diferente).