Exercício 5. Prove que n^{2}+1>2^{n} sempre que n \in\{1,2,3,4\}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
n^2 + 1 > 2^n
sempre que n\in\{1,2,3,4\}. Como o conjunto é finito, vamos simplesmente verificar caso a caso.

Passo 2

Para n=1 temos
1^2 + 1 = 2
e
2^1 = 2.
Logo
1^2 + 1 = 2^1,
ou seja, não é verdade que 1^2+1>2^1.

Passo 3

Para n=2 calculamos
2^2 + 1 = 4 + 1 = 5
e
2^2 = 4.
Assim
2^2 + 1 = 5 > 4 = 2^2,
logo a desigualdade vale para n=2.

Passo 4

Para n=3 temos
3^2 + 1 = 9 + 1 = 10
e
2^3 = 8.
Portanto
3^2 + 1 = 10 > 8 = 2^3,
logo vale para n=3.

Passo 5

Para n=4 calculamos
4^2 + 1 = 16 + 1 = 17
e
2^4 = 16.
Então
4^2 + 1 = 17 > 16 = 2^4,
logo vale para n=4.

Resposta

A desigualdade falha em n=1 (fica 2 = 2), mas é verdadeira para n=2,3,4.

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