Exercício 8. Prove que existe um racional
e um irracional
tais que
é irracional.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que existem um número racional
e um número irracional
tais que
seja irracional. O conteúdo usado aqui é o Teorema de Gelfond–Schneider, que garante que certas potências de números algébricos levam a números transcendentes (e, portanto, irracionais).
Passo 2
O Teorema de Gelfond–Schneider diz que se
e
são números algébricos com
e
é irracional (algébrico), então
é um número transcendental, logo irracional.
Passo 3
Escolhemos
. Esse
é racional e algébrico, e satisfaz
. Escolhemos
que é irracional e também algébrico. Pelo Teorema de Gelfond–Schneider,
é transcendental e, em particular, irracional.
Resposta
Uma escolha que funciona é
pois
é racional,
é irracional e, pelo Teorema de Gelfond–Schneider,
é irracional.