Exercício 8. Prove que existe um racional x e um irracional y tais que x^{y} é irracional.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que existem um número racional x e um número irracional y tais que x^{y} seja irracional. O conteúdo usado aqui é o Teorema de Gelfond–Schneider, que garante que certas potências de números algébricos levam a números transcendentes (e, portanto, irracionais).

Passo 2

O Teorema de Gelfond–Schneider diz que se a e b são números algébricos com a\neq0,1 e b é irracional (algébrico), então
a^{b}
é um número transcendental, logo irracional.

Passo 3

Escolhemos x=2. Esse x é racional e algébrico, e satisfaz x\neq0,1. Escolhemos
y = \sqrt{2},
que é irracional e também algébrico. Pelo Teorema de Gelfond–Schneider,
2^{\sqrt{2}}
é transcendental e, em particular, irracional.

Resposta

Uma escolha que funciona é
x = 2,\quad y = \sqrt{2},
pois x é racional, y é irracional e, pelo Teorema de Gelfond–Schneider,
x^{y} = 2^{\sqrt{2}}
é irracional.

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