Exercício 1.8 Represente graficamente f(x, y)=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}} e trace as curvas de níveis, f(x, y)=0, f(x, y)=\sqrt{5} e f(x, y)=\sqrt{8} no domínio de f no plano.

Passo 1

O enunciado pede a representação da superfície
f(x,y)=\sqrt{9 - x^2 - y^2}
e, em seguida, as curvas de nível correspondentes a
\,f(x,y)=0, \,f(x,y)=\sqrt{5} e \,f(x,y)=\sqrt{8}
no domínio de f. O conteúdo envolve geometria de superfícies em \mathbb{R}^3 (meia‐esfera de raio 3) e curvas de nível no plano.

Passo 2

Determinar o domínio de definição de f. Como a expressão sob a raiz deve ser não‐negativa, temos
9 - x^2 - y^2 \ge 0
ou seja
x^2 + y^2 \le 9.

Passo 3

Descrever a forma da superfície em \mathbb{R}^3. Para cada ponto (x,y) dentro do disco de raio 3, a altura z=f(x,y) satisfaz
z^2 = 9 - x^2 - y^2,
o que é exatamente a equação de uma esfera de raio 3 centrada na origem, com z\ge0. Logo, o gráfico de f é a meia‐esfera superior de raio 3.

Passo 4

Encontrar a equação geral das curvas de nível f(x,y)=c. Impondo
\sqrt{9 - x^2 - y^2} = c
e elevando ao quadrado, obtemos
x^2 + y^2 = 9 - c^2.
Para cada valor de c o nível é um círculo de raio \sqrt{9 - c^2}. Agora basta substituir:
  1. Para c=0:
    x^2 + y^2 = 9 \quad(\text{círculo de raio }3).í
  2. Para c=\sqrt{5}:
    x^2 + y^2 = 9 - 5 = 4 \quad(\text{círculo de raio }2).í
  3. Para c=\sqrt{8}:
    x^2 + y^2 = 9 - 8 = 1 \quad(\text{círculo de raio }1).í

Resposta

No plano (x,y) dentro do disco de raio 3, as curvas de nível são círculos concêntricos de raio:
• Para f(x,y)=0: círculo de raio 3.
• Para f(x,y)=\sqrt{5}: círculo de raio 2.
• Para f(x,y)=\sqrt{8}: círculo de raio 1.

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