Exercício 1.8 Represente graficamente
e trace as curvas de níveis,
e
no domínio de
no plano.
Passo 1
O enunciado pede a representação da superfície
e, em seguida, as curvas de nível correspondentes a
,
e
no domínio de . O conteúdo envolve geometria de superfícies em
(meia‐esfera de raio 3) e curvas de nível no plano.
no domínio de
Passo 2
Determinar o domínio de definição de
. Como a expressão sob a raiz deve ser não‐negativa, temos
ou seja
Passo 3
Descrever a forma da superfície em
. Para cada ponto
dentro do disco de raio 3, a altura
satisfaz
o que é exatamente a equação de uma esfera de raio 3 centrada na origem, com
. Logo, o gráfico de
é a meia‐esfera superior de raio 3.
Passo 4
Encontrar a equação geral das curvas de nível
. Impondo
e elevando ao quadrado, obtemos
Para cada valor de
o nível é um círculo de raio
. Agora basta substituir:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Resposta
No plano
dentro do disco de raio 3, as curvas de nível são círculos concêntricos de raio:
• Para
: círculo de raio
.
• Para : círculo de raio
.
• Para : círculo de raio
.
• Para
• Para