Exercício 1.6 Determine \operatorname{Dom}(f) se:
(a) f(x, y)=\sqrt{\frac{x-y}{x+y}}
(b) f(x, y)=\frac{x^{2}-y^{2}}{x-y}
(c) f(x, y)=\frac{x+y}{x y}
(d) f(x, y)=16-x^{2}-y^{2}
(e) f(x, y)=\frac{x-y}{\sin (x)-\sin (y)}
(f) f(x, y)=\sqrt{y-x}+\sqrt{1-y}
(g) f(x, y, z)=x y z-x^{4}+x 5-z^{7}
(h) f(x, y, z)=\ln \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-1\right)
(i) f(x, y, z)=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}
(j) f(x, y, z)=e^{x^{2}+y^{2}+z^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio de cada função multivariada. Para isso usamos as regras:
  • Denominadores não podem ser zero.
  • Argumentos de \sqrt{\cdot} devem ser \ge0.
  • Argumentos de \ln(\cdot) devem ser >0.
  • Polinômios e exponenciais não impõem restrições.

Passo 2

Denominadores.
Em (b)
f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x-y}
requer x-y\neq0.
Em (c)
f(x,y)=\frac{x+y}{x\,y}
requer x\,y\neq0, ou seja, x\neq0 e y\neq0.
Em (e)
f(x,y)=\frac{x-y}{\sin(x)-\sin(y)}
requer \sin(x)-\sin(y)\neq0, isto é, \sin(x)\neq\sin(y).

Passo 3

Radicais.
Em (a)
f(x,y)=\sqrt{\frac{x-y}{x+y}}
requer
\frac{x-y}{x+y}\ge0 \quad\text{e}\quad x+y\neq0.
Em (f)
f(x,y)=\sqrt{y-x}+\sqrt{1-y}
requer
y-x\ge0 \quad\text{e}\quad 1-y\ge0.
Em (i)
f(x,y,z)=\sqrt{1-x^2-y^2-z^2}
requer
1-x^2-y^2-z^2\ge0.

Passo 4

Logaritmos.
Em (h)
f(x,y,z)=\ln\bigl(x^2+y^2+z^2-1\bigr)
requer
x^2+y^2+z^2-1>0.

Passo 5

Polinômios e exponenciais.
Em (d)
f(x,y)=16-x^2-y^2,
em (g)
f(x,y,z)=x\,y\,z - x^4 + x^5 - z^7,
e em (j)
f(x,y,z)=e^{x^2+y^2+z^2}
não impõem restrições adicionais, sendo definidos em todo \mathbb R^2 para (d) e em todo \mathbb R^3 para (g) e (j).

Resposta

(a) \{(x,y)\in\mathbb R^2\mid x+y\neq0,\,(x-y)/(x+y)\ge0\}
(b) \{(x,y)\in\mathbb R^2\mid x\neq y\}
(c) \{(x,y)\in\mathbb R^2\mid x\neq0,\;y\neq0\}
(d) \mathbb R^2
(e) \{(x,y)\in\mathbb R^2\mid \sin(x)\neq\sin(y)\}
(f) \{(x,y)\in\mathbb R^2\mid y\ge x,\;y\le1\}
(g) \mathbb R^3
(h) \{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x^2+y^2+z^2>1\}
(i) \{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x^2+y^2+z^2\le1\}
(j) \mathbb R^3

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