Exercício 1. Resolva as seguintes equações lineares:
(i) (x \log x) y^{\prime}+y=3 x^{3}

Passo 1

O enunciado dá a equação linear de primeira ordem
(x \log x)\,y' + y = 3x^3
e pede a solução geral y(x). O conteúdo necessário é a técnica de fator integrante para equações da forma
y' + P(x)\,y = Q(x).

Passo 2

Colocamos a equação em forma padrão dividindo tudo por x\log x:
y' + \frac{1}{x\log x}\,y = \frac{3x^3}{x\log x} \quad\Longrightarrow\quad y' + \frac{1}{x\log x}\,y = \frac{3x^2}{\log x}.

Passo 3

O fator integrante \mu(x) vem de
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\!\Bigl(\int \frac{1}{x\ln x}\,dx\Bigr) = \exp\bigl(\ln|\ln x|\bigr) = \ln x
(considerando x>0, x\neq1).

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(x)=\ln x. O lado esquerdo torna-se a derivada do produto:
\ln x\,y' + \frac{\ln x}{x\ln x}\,y = \ln x\,y' + \frac{1}{x}\,y = \frac{d}{dx}\bigl(\ln x\;y\bigr).
O lado direito é
\ln x\;\frac{3x^2}{\ln x} = 3x^2.
Logo temos
\frac{d}{dx}\bigl(\ln x\;y\bigr) = 3x^2.

Passo 5

Integramos ambos os lados em x:
\ln x\;y = \int 3x^2\,dx = x^3 + C.
Isolando y, obtemos a solução geral
y = \frac{x^3 + C}{\ln x}.

Resposta

y(x) = \frac{x^3 + C}{\ln x},\quad C\in\mathbb{R}.

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