Exercício 1. Resolva as seguintes equações lineares:
(h) \frac{d y}{d x}-2 x y=6 x e^{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
\frac{dy}{dx} - 2x\,y = 6x\,e^{x^2}.
O conteúdo é solução de equações lineares usando fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
\frac{dy}{dx} + p(x)\,y = q(x),
onde p(x) = -2x e q(x) = 6x\,e^{x^2}.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\Bigl(\int p(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int -2x\,dx\Bigr) = \exp(-x^2).

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por \mu(x):
e^{-x^2}\frac{dy}{dx} - 2x\,e^{-x^2}y = 6x\,e^{-x^2}e^{x^2} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{-x^2}\bigr) = 6x.
Agora integramos em x:
y\,e^{-x^2} = \int 6x\,dx = 3x^2 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolando y, obtemos a solução geral
y = \bigl(3x^2 + C\bigr)\,e^{x^2}.

Resposta

y = \bigl(3x^2 + C\bigr)\,e^{x^2}.

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