Exercício 6 Resolver a equação P(x)=6 x^{4}-35 x^{3}-62 x^{2}-35 x+6=0 e em seguida, obtenha a forma fatorada do polinômio P(x).
Solução 6.1 Temos que as possíveis raízes racionais são da forma \frac{p}{q}, onde p pertence ao conjunto
\begin{aligned} & \left\{ \pm \frac{1}{1}, \pm \frac{2}{1}, \pm \frac{3}{1}, \pm \frac{6}{1}\right\} \cup\left\{ \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{2}{2}, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{6}{2}\right\} \cup\left\{ \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{3}{3}, \pm \frac{6}{3}\right\} \cup\left\{ \pm \frac{1}{6}, \pm \frac{2}{6}, \pm \frac{3}{6}, \pm \frac{6}{6}\right\} \\\ & =\{\pm 1, \pm 1, \pm 3, \pm 6\} \cup\left\{ \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}\right\} \cup\left\{ \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{2}{3}\right\} \cup\left\{ \pm \frac{1}{6}\right\} \end{aligned}
Por um teste direto, concluímos que \left\{2,3, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}\right\} são todas raízes de P(x)=0 e podemos escrever
\begin{gathered} P(x)=6\left(x-r_{1}\right)\left(x-r_{2}\right)\left(x-r_{2}\right)\left(x-r_{4}\right) \\\\ 6\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)(x-2)(x-3) \\\ =(3 x-1)(2 x-1)(x-2)(x-3) \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede as raízes de P(x)=6x^{4}-35x^{3}-62x^{2}-35x+6 e, em seguida, a forma fatorada de P(x). O conteúdo principal aqui é o Teorema das raízes racionais, que nos dá candidatos ao formato \tfrac p q com p divisor do termo independente e q divisor do coeficiente líder.

Passo 2

Pelo Teorema das raízes racionais, os candidatos são
\pm\frac{p}{q},\quad p\in\{1,2,3,6\},\;q\in\{1,2,3,6\}.
Desse modo as possibilidades se reduzem a
\{\pm1,\pm2,\pm3,\pm6,\pm\tfrac12,\pm\tfrac13,\pm\tfrac16,\pm\tfrac23,\pm\tfrac32\}.

Passo 3

Testando diretamente em P(x), encontramos que
P(2)=0,\quad P(3)=0,\quad P\bigl(\tfrac12\bigr)=0,\quad P\bigl(\tfrac13\bigr)=0,
enquanto os outros candidatos não anulam o polinômio. Logo as raízes são
x_1=2,\quad x_2=3,\quad x_3=\tfrac12,\quad x_4=\tfrac13.

Passo 4

Como P é de grau 4 e tem essas quatro raízes simples, escrevemos
P(x)=6\bigl(x-2\bigr)\bigl(x-3\bigr)\Bigl(x-\tfrac12\Bigr)\Bigl(x-\tfrac13\Bigr).
O fator 6 é o coeficiente líder que garante o mesmo termo de maior grau.

Passo 5

Para eliminar frações nos fatores lineares, observe que
6\Bigl(x-\tfrac12\Bigr)\Bigl(x-\tfrac13\Bigr) = (2x-1)(3x-1),
pois 6(x-\tfrac12)=2(2x-1) e 3(x-\tfrac13)=3x-1. Assim
P(x)=(3x-1)(2x-1)(x-2)(x-3).

Resposta

As raízes de P(x)=0 são \tfrac13,\;\tfrac12,\;2,\;3,
e a fatoração é
P(x)=(3x-1)(2x-1)(x-2)(x-3).

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