Aplique a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de equações diferenciais
\left\{\begin{array}{l}x_{1}^{\prime \prime}+10 x_{1}-4 x_{2}=0 \\\\ -4 x_{1}+x_{2}^{\prime \prime}+4 x_{2}=0\end{array}\right. sujeito às condições iniciais x_{1}(0)=0, x_{1}^{\prime}(0)=1, x_{2}(0)=0 e x_{2}^{\prime}(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} x_{1}''+10\,x_{1}-4\,x_{2}=0,\\\\ -4\,x_{1}+x_{2}''+4\,x_{2}=0, \end{cases}
com condições iniciais x_{1}(0)=0, x_{1}'(0)=1, x_{2}(0)=0, x_{2}'(0)=-1.
O método será aplicar a transformada de Laplace a cada equação, usar as propriedades de \mathcal L\{x''\}, resolver o sistema algébrico em X_{1}(s) e X_{2}(s), fazer frações parciais e, por fim, inverter a Laplace.

Passo 2

Tomando a Laplace em cada termo e usando
\mathcal L\{x_{1}''\}=s^{2}X_{1}(s)-s\,x_{1}(0)-x_{1}'(0)=s^{2}X_{1}(s)-1,
\mathcal L\{x_{2}''\}=s^{2}X_{2}(s)-s\,x_{2}(0)-x_{2}'(0)=s^{2}X_{2}(s)+1,
obtemos o sistema algébrico
(s^{2}+10)\,X_{1}(s)\;-\;4\,X_{2}(s)=1,
-4\,X_{1}(s)\;+\;(s^{2}+4)\,X_{2}(s)=-1.

Passo 3

Resolvendo por Cramer, o determinante comum é
\Delta=(s^{2}+10)(s^{2}+4)-(-4)(-4) =s^{4}+14s^{2}+24 =(s^{2}+2)(s^{2}+12).
O numerador para X_{1} é
\Delta_{1}=\begin{vmatrix}1 & -4\\\\ -1 & s^{2}+4\end{vmatrix} =1\cdot(s^{2}+4)-(-4)\cdot(-1)=s^{2},
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X_{1}(s)=\frac{s^{2}}{(s^{2}+2)(s^{2}+12)}.
Para X_{2} temos
\Delta_{2}=\begin{vmatrix}s^{2}+10 & 1\\\\ -4 & -1\end{vmatrix} =(s^{2}+10)(-1)-1\cdot(-4)=-s^{2}-6=-(s^{2}+6),
portanto
X_{2}(s)=-\frac{s^{2}+6}{(s^{2}+2)(s^{2}+12)}.

Passo 4

Fazendo frações parciais em
X_{1}(s)=\frac{s^{2}}{(s^{2}+2)(s^{2}+12)} =\frac{A}{s^{2}+2}+\frac{B}{s^{2}+12},
temos
s^{2}=A(s^{2}+12)+B(s^{2}+2) =(A+B)s^{2}+(12A+2B).
Igualando coeficientes:
A+B=1,\quad 12A+2B=0\implies6A+B=0 \Rightarrow A=-\tfrac15,\;B=\tfrac65.
Assim
X_{1}(s)=-\frac{1}{5}\,\frac{1}{s^{2}+2}+\frac{6}{5}\,\frac{1}{s^{2}+12}.

Passo 5

Invertendo a Laplace com \mathcal L^{-1}\{1/(s^{2}+a^{2})\}=(1/a)\sin(a\,t), obtemos
x_{1}(t) =-\frac{1}{5}\,\frac{1}{\sqrt2}\sin(\sqrt2\,t) +\frac{6}{5}\,\frac{1}{\sqrt{12}}\sin(\sqrt{12}\,t) =-\frac{1}{5\sqrt2}\sin(\sqrt2\,t) +\frac{3}{5\sqrt3}\sin(2\sqrt3\,t).

Passo 6

Para
X_{2}(s) =-\frac{s^{2}+6}{(s^{2}+2)(s^{2}+12)} =\frac{A}{s^{2}+2}+\frac{B}{s^{2}+12},
temos
-(s^{2}+6)=A(s^{2}+12)+B(s^{2}+2) =(A+B)s^{2}+(12A+2B),
de onde
A+B=-1,\quad12A+2B=-6\implies6A+B=-3 \Rightarrow A=-\tfrac{2}{5},\;B=-\tfrac{3}{5}.
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X_{2}(s)=-\frac{2}{5}\,\frac{1}{s^{2}+2} -\frac{3}{5}\,\frac{1}{s^{2}+12}.

Passo 7

Invertendo para x_{2}(t):
x_{2}(t) =-\frac{2}{5}\,\frac{1}{\sqrt2}\sin(\sqrt2\,t) -\frac{3}{5}\,\frac{1}{\sqrt{12}}\sin(\sqrt{12}\,t) =-\frac{2}{5\sqrt2}\sin(\sqrt2\,t) -\frac{3}{10\sqrt3}\sin(2\sqrt3\,t).

Resposta

x_{1}(t)=-\frac{1}{5\sqrt2}\sin(\sqrt2\,t)+\frac{3}{5\sqrt3}\sin(2\sqrt3\,t),
x_{2}(t)=-\frac{2}{5\sqrt2}\sin(\sqrt2\,t)-\frac{3}{10\sqrt3}\sin(2\sqrt3\,t).

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