Exercício resolvido: Bilu veio te visitar na Terra e está numa estação de trem. Enquanto espera seu horário, Bilu vê um trem passando a velocidade constante \vec{v}_{T B}=12 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \hat{i}, e observa uma pessoa lançando um objeto para outra dentro do trem. Um terceiro passageiro, sentado dentro do trem, observa este mesmo lançamento com velocidade inicial \vec{v}_{O T}=-9 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \hat{i}+2 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \hat{j}.
a. Qual a velocidade inicial do objeto, visto por Bilu? Com base nisso, o que você pode dizer da trajetória vista por Bilu em comparação àquela vista pelo passageiro?
b. Começa a chover. Bilu, que sempre busca conhecimento, nota que as gotas caem verticalmente sobre ele e quer estimar com que velocidade. Para tanto, ele estima o ângulo que os traços da chuva fazem nas janelas do trem. Se o ângulo que tais traços fazem com a horizontal é de aproximadamente 30^{\circ}, qual é a velocidade aproximada com que a chuva cai em Bilu?

Passo 1

O enunciado fornece duas informações de velocidade e faz duas perguntas:
  • Velocidade do trem, vista por Bilu: \vec{v}_{T B}=12\\ \mathrm{km/h}\\ \hat{i}.
  • Velocidade inicial do objeto, vista por um passageiro dentro do trem (isto é, velocidade do objeto relativa ao trem): \vec{v}_{O T}=-9\\ \mathrm{km/h}\\ \hat{i}+2\\ \mathrm{km/h}\\ \hat{j}.
    Perguntas:
    a. Qual a velocidade inicial do objeto vista por Bilu? O que se pode dizer sobre a trajetória vista por Bilu em comparação com a vista pelo passageiro?
    b. Sabendo que Bilu vê a chuva caindo verticalmente sobre ele e que os traços da chuva nas janelas do trem fazem um ângulo de aproximadamente 30^\circ com a horizontal (esse ângulo é medido no referencial do trem), qual é a velocidade com que a chuva cai em Bilu?

Passo 2

Conceito necessário (explicação didática): transformação de velocidades entre referenciais que se movem com velocidade constante (transformação de Galileu).
  • Se \vec{v}_{A B} é a velocidade de A em relação a B e \vec{v}_{B C} é a velocidade de B em relação a C, então a velocidade de A em relação a C é
\vec{v}_{A C}=\vec{v}_{A B}+\vec{v}_{B C}.
  • Aqui: queremos a velocidade do objeto em relação a Bilu ( \vec{v}_{O B}). Sabemos a velocidade do objeto em relação ao trem ( \vec{v}_{O T}) e a velocidade do trem em relação a Bilu ( \vec{v}_{T B}). Portanto aplicamos
\vec{v}_{O B}=\vec{v}_{O T}+\vec{v}_{T B}.
Explicação das letras: no subíndice, o primeiro símbolo é o objeto observado, o segundo é o referencial. Por exemplo, \vec{v}_{O T} = velocidade do objeto relativo ao trem.

Passo 3

Aplicando a soma componente a componente:
\vec{v}_{O B}=(-9\\ \hat{i}+2\\ \hat{j})\\ \mathrm{km/h} + (12\\ \hat{i})\\ \mathrm{km/h}.
Somando as componentes \hat{i} e \hat{j} separadamente:
\text{componente } \hat{i}:\\\ -9+12=3,
\text{componente } \hat{j}:\\\ 2.
Logo
\vec{v}_{O B}=3\\ \mathrm{km/h}\\ \hat{i}+2\\ \mathrm{km/h}\\ \hat{j}.

Passo 4

Interpretação física (trajetória):
  • O passageiro dentro do trem vê a componente horizontal inicial \\ -9\\ \mathrm{km/h}\\ \hat{i} (isto é, o objeto parte movendo-se para trás dentro do trem) e componente vertical 2\\ \mathrm{km/h}\\ \hat{j}.
  • Bilu vê a componente horizontal \;3\\ \mathrm{km/h}\\ \hat{i} (ou seja, para a frente, embora lenta) e a mesma componente vertical 2\\ \mathrm{km/h}\\ \hat{j}.
  • Sobre o formato da trajetória: em mecânica clássica, se dois referenciais diferem apenas por velocidade constante, a aceleração é a mesma nos dois (a gravidade \vec{g} não muda). Assim, a componente vertical do movimento sofre a mesma aceleração (aproximadamente -g), logo ambos os observadores verão trajetórias do tipo parábola em função do tempo. O que muda entre os observadores é a componente horizontal inicial; portanto as parábolas terão formas distintas (curvaturas diferentes e orientação horizontal diferente), mas ambas são parábolas. Em palavras simples: mesma “forma geral” (parábola), mas deslocadas e com horizontais diferentes — o passageiro vê o objeto indo para trás; Bilu vê o objeto indo para frente devagar.

Passo 5

Agora a parte (b). Montando o modelo:
  • Bilu vê a chuva caindo verticalmente, então, no referencial do solo (de Bilu), a velocidade da chuva tem a forma \vec{v}_{\text{chuva, solo}}=(0,-V), onde V>0 é a velocidade vertical (módulo) que queremos achar e o sinal negativo indica que é para baixo.
  • No referencial do trem (que se move com \vec{v}_{T B}=12\\ \mathrm{km/h}\\ \hat{i} em relação ao solo), a velocidade da chuva é
\vec{v}_{\text{chuva, trem}}=\vec{v}_{\text{chuva, solo}}-\vec{v}_{T B}.
(Usamos subtração porque estamos passando da velocidade no solo para a velocidade relativa ao trem.)
  • Portanto
\vec{v}_{\text{chuva, trem}}=(-12\\ \hat{i},\\\ -V).
  • O ângulo \theta que as marcas da chuva fazem com a horizontal no referencial do trem satisfaz
\tan\theta=\frac{\text{componente vertical (módulo)}}{\text{componente horizontal (módulo)}}=\frac{V}{12}.óó
Aqui \theta=30^\circ (dado).

Passo 6

Resolvendo para V:
V=12\tan 30^\circ.
Sabendo que \tan 30^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{3}},
V=12\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\\ \mathrm{km/h}.
Valor numérico:
4\sqrt{3}\approx 6{,}93\\ \mathrm{km/h}.
Se quisermos em metros por segundo (útil para intuição),
6{,}93\\ \mathrm{km/h}\times\frac{1000}{3600}\approx 1{,}93\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Resumo final (curto e encorajador): já temos a velocidade do objeto vista por Bilu e a velocidade da chuva no referencial do solo estimada a partir do ângulo medido na janela do trem. Boa! Isso é exatamente o tipo de raciocínio que cai na prova: soma de velocidades entre referenciais e trigonometria simples para relacionar ângulos com componentes.

Resposta

a. \vec{v}_{O B}=3\\ \mathrm{km/h}\\ \hat{i}+2\\ \mathrm{km/h}\\ \hat{j}. Ambas as trajetórias são parábolas (mesma aceleração vertical), mas o passageiro vê o objeto movendo-se para trás dentro do trem enquanto Bilu vê o objeto movendo-se para a frente; as parábolas têm horizontais diferentes.
b. V=4\sqrt{3}\\ \mathrm{km/h}\approx 6{,}93\\ \mathrm{km/h} (aprox. 1{,}93\\ \mathrm{m/s}).

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