Exercício resolvido: Bilu veio te visitar na Terra e está numa estação de trem. Enquanto espera seu horário, Bilu vê um trem passando a velocidade constante
, e observa uma pessoa lançando um objeto para outra dentro do trem. Um terceiro passageiro, sentado dentro do trem, observa este mesmo lançamento com velocidade inicial
.
a. Qual a velocidade inicial do objeto, visto por Bilu? Com base nisso, o que você pode dizer da trajetória vista por Bilu em comparação àquela vista pelo passageiro?
b. Começa a chover. Bilu, que sempre busca conhecimento, nota que as gotas caem verticalmente sobre ele e quer estimar com que velocidade. Para tanto, ele estima o ângulo que os traços da chuva fazem nas janelas do trem. Se o ângulo que tais traços fazem com a horizontal é de aproximadamente
, qual é a velocidade aproximada com que a chuva cai em Bilu?
a. Qual a velocidade inicial do objeto, visto por Bilu? Com base nisso, o que você pode dizer da trajetória vista por Bilu em comparação àquela vista pelo passageiro?
b. Começa a chover. Bilu, que sempre busca conhecimento, nota que as gotas caem verticalmente sobre ele e quer estimar com que velocidade. Para tanto, ele estima o ângulo que os traços da chuva fazem nas janelas do trem. Se o ângulo que tais traços fazem com a horizontal é de aproximadamente
Passo 1
O enunciado fornece duas informações de velocidade e faz duas perguntas:
- Velocidade do trem, vista por Bilu:
. - Velocidade inicial do objeto, vista por um passageiro dentro do trem (isto é, velocidade do objeto relativa ao trem):
.
Perguntas:
a. Qual a velocidade inicial do objeto vista por Bilu? O que se pode dizer sobre a trajetória vista por Bilu em comparação com a vista pelo passageiro?
b. Sabendo que Bilu vê a chuva caindo verticalmente sobre ele e que os traços da chuva nas janelas do trem fazem um ângulo de aproximadamentecom a horizontal (esse ângulo é medido no referencial do trem), qual é a velocidade com que a chuva cai em Bilu?
Passo 2
Conceito necessário (explicação didática): transformação de velocidades entre referenciais que se movem com velocidade constante (transformação de Galileu).
- Se
é a velocidade de em relação a e é a velocidade de em relação a , então a velocidade de em relação a é
- Aqui: queremos a velocidade do objeto em relação a Bilu (
). Sabemos a velocidade do objeto em relação ao trem ( ) e a velocidade do trem em relação a Bilu ( ). Portanto aplicamos
Explicação das letras: no subíndice, o primeiro símbolo é o objeto observado, o segundo é o referencial. Por exemplo,
= velocidade do objeto relativo ao trem.
Passo 3
Aplicando a soma componente a componente:
Somando as componentes
e
separadamente:
Logo
Passo 4
Interpretação física (trajetória):
- O passageiro dentro do trem vê a componente horizontal inicial
(isto é, o objeto parte movendo-se para trás dentro do trem) e componente vertical . - Bilu vê a componente horizontal
(ou seja, para a frente, embora lenta) e a mesma componente vertical . - Sobre o formato da trajetória: em mecânica clássica, se dois referenciais diferem apenas por velocidade constante, a aceleração é a mesma nos dois (a gravidade
não muda). Assim, a componente vertical do movimento sofre a mesma aceleração (aproximadamente ), logo ambos os observadores verão trajetórias do tipo parábola em função do tempo. O que muda entre os observadores é a componente horizontal inicial; portanto as parábolas terão formas distintas (curvaturas diferentes e orientação horizontal diferente), mas ambas são parábolas. Em palavras simples: mesma “forma geral” (parábola), mas deslocadas e com horizontais diferentes — o passageiro vê o objeto indo para trás; Bilu vê o objeto indo para frente devagar.
Passo 5
Agora a parte (b). Montando o modelo:
- Bilu vê a chuva caindo verticalmente, então, no referencial do solo (de Bilu), a velocidade da chuva tem a forma
, onde é a velocidade vertical (módulo) que queremos achar e o sinal negativo indica que é para baixo. - No referencial do trem (que se move com
em relação ao solo), a velocidade da chuva é
(Usamos subtração porque estamos passando da velocidade no solo para a velocidade relativa ao trem.)
- Portanto
- O ângulo
que as marcas da chuva fazem com a horizontal no referencial do trem satisfaz
Aqui
(dado).
Passo 6
Resolvendo para
:
Sabendo que
,
Valor numérico:
Se quisermos em metros por segundo (útil para intuição),
Passo 7
Resumo final (curto e encorajador): já temos a velocidade do objeto vista por Bilu e a velocidade da chuva no referencial do solo estimada a partir do ângulo medido na janela do trem. Boa! Isso é exatamente o tipo de raciocínio que cai na prova: soma de velocidades entre referenciais e trigonometria simples para relacionar ângulos com componentes.
Resposta
a.
. Ambas as trajetórias são parábolas (mesma aceleração vertical), mas o passageiro vê o objeto movendo-se para trás dentro do trem enquanto Bilu vê o objeto movendo-se para a frente; as parábolas têm horizontais diferentes.
b. (aprox.
).
b.