Um tanque de 3,5 \mathrm{~m} de comprimento e 1,5 \mathrm{~m} de largura contém uma lâmina d’água de 1,0 \mathrm{~m}.
a) Qual será o tempo necessário para abaixar a altura d’água para 20 cm , se um orificio de 70 mm de diâmetro for aberto no fundo do tanque? O coeficiente de descarga do orificio é igual a 0,61 .
b) O que poderia ser feito, no que se refere ao orificio, a fim de diminuir o tempo de esvaziamento desse reservatório? Cite ao menos duas intervenções possíveis.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Calcular o tempo necessário para baixar a lâmina d’água de 1,0\\ \mathrm{m} até 0,20\\ \mathrm{m} abrindo um orifício no fundo.
  • (b) Indicar pelo menos duas intervenções, relacionadas ao orifício, que diminuam o tempo de esvaziamento.
Dados fornecidos (vou listar todos para não nos perdermos):
\text{comprimento do tanque } L=3{,}5\\ \mathrm{m},
\text{largura do tanque } W=1{,}5\\ \mathrm{m},
\text{altura inicial } h_0=1{,}0\\ \mathrm{m},
\text{altura final } h_f=0{,}20\\ \mathrm{m},
\text{diâmetro do orifício } D=70\\ \mathrm{mm}=0{,}07\\ \mathrm{m},âí
\text{coeficiente de descarga } C_d=0{,}61.
Também usarei g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Vamos explicar a física que usamos (a “fórmula padrão” para esse tipo de problema) de forma bem didática.
Quando o orifício no fundo está descarregando para a atmosfera, a velocidade de saída da água, sem considerar perdas extras, é dada pela fórmula de Torricelli:
v=\sqrt{2 g h},
onde:
  • v é a velocidade teórica de saída (m/s),
  • g é a aceleração da gravidade (m/s ^2),
  • h é a altura da superfície livre acima do orifício (m).
Na prática existe contração do jato e perdas. Introduzimos então o coeficiente de descarga C_d (adimensional), que reduz a vazão ideal. A vazão volumétrica pelo orifício é:
Q=C_d A_o \sqrt{2 g h},
onde:
  • Q é a vazão (m ^3/s),
  • A_o é a área do orifício (m ^2).
Explicando cada termo: A_o é área física do furo; \sqrt{2gh} vem de converter a energia potencial (altura) em velocidade pelo princípio de Bernoulli; C_d corrige o fato de que a velocidade real e a área efetiva do jato são menores que os ideais por causa de contração e perdas viscosas.

Passo 3

Agora escrevemos a equação de balanço de massa (continuidade) no tanque. O volume de água no tanque é V=A_{\text{tanque}}\,h, onde a área da base do tanque é
A_{\text{tanque}}=L\cdot W=3{,}5\cdot 1{,}5=5{,}25\\ \mathrm{m^2}.
A taxa de variação do volume é a vazão de saída (negativa):
\frac{dV}{dt} = A_{\text{tanque}}\frac{dh}{dt} = -Q = -C_d A_o \sqrt{2 g h}.
Rearranjando:
A_{\text{tanque}}\frac{dh}{dt} = -C_d A_o \sqrt{2 g h}.

Passo 4

Separamos variáveis e integramos para obter o tempo de esvaziamento de h_0 até h_f. Primeiro reorganizamos:
\frac{dh}{\sqrt{h}} = -\frac{C_d A_o \sqrt{2 g}}{A_{\text{tanque}}}\,dt.
Integramos ambos os lados de t=0 (quando h=h_0) até t=T (quando h=h_f):
\int_{h_0}^{h_f} \frac{dh}{\sqrt{h}} = -\frac{C_d A_o \sqrt{2 g}}{A_{\text{tanque}}}\int_{0}^{T} dt.
A integral do lado esquerdo é simples: \displaystyle\int \frac{dh}{\sqrt{h}} = 2\sqrt{h}. Logo:
2\big(\sqrt{h_f}-\sqrt{h_0}\big) = -\frac{C_d A_o \sqrt{2 g}}{A_{\text{tanque}}}\,T.
Isolando T:
T = \frac{2 A_{\text{tanque}}\big(\sqrt{h_0}-\sqrt{h_f}\big)}{C_d A_o \sqrt{2 g}}.
Esta é a fórmula que vamos usar numericamente. Note que \sqrt{h_0}-\sqrt{h_f}>0, então T>0.

Passo 5

Calculemos tudo passo a passo numericamente.
  1. Área do orifício:
A_o = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi(0{,}07)^2}{4} = \pi(0{,}035)^2.
Calculando:
A_o \approx 3{,}14159265 \times 0{,}001225 = 0{,}003848\\ \mathrm{m^2}\\ (\text{aprox.}).
  1. Valores numéricos que aparecem na fórmula:
A_{\text{tanque}}=5{,}25\\ \mathrm{m^2}, \quad C_d A_o \approx 0{,}61\times 0{,}003848 = 0{,}002347\\ \mathrm{m^2},
\sqrt{2g}=\sqrt{2\cdot 9{,}81}=\sqrt{19{,}62}\approx 4{,}42945\\ \mathrm{(m^{1/2}/s)}.
  1. Numerador da fórmula:
2 A_{\text{tanque}}\big(\sqrt{h_0}-\sqrt{h_f}\big) =2\cdot 5{,}25\big( \sqrt{1{,}0}-\sqrt{0{,}20}\big).
Calculando raízes:
\sqrt{h_0}=1{,}0000,\qquad \sqrt{h_f}=\sqrt{0{,}20}\approx 0{,}4472136,
\sqrt{h_0}-\sqrt{h_f}\approx 0{,}5527864.
Logo o numerador:
2\cdot 5{,}25\cdot 0{,}5527864 \approx 5{,}80557.
  1. Denominador da fórmula:
C_d A_o \sqrt{2g} \approx 0{,}002347\times 4{,}42945 \approx 0{,}0103987.
  1. Tempo T:
T=\frac{5{,}80557}{0{,}0103987}\approx 558{,}5\\ \mathrm{s}.
Convertendo para minutos:
558{,}5\\ \mathrm{s}\approx 9{,}31\\ \mathrm{min}.
Arredondando: T\approx 558\\ \mathrm{s}\approx 9{,}3\\ \mathrm{min}.

Passo 6

Comentário prático rápido (para te acalmar): o resultado mostra que, com um orifício de 70\\ \mathrm{mm} e C_d=0{,}61, o tanque esvazia de 1{,}0\\ \mathrm{m} a 0{,}20\\ \mathrm{m} em cerca de 9{,}3 minutos. A matemática foi direta: Bernoulli (Torricelli) + continuidade + separação de variáveis. Dá para fazer isso bem na prova sem calculadora com aproximações.

Passo 7

Agora as intervenções (relacionadas ao orifício) para diminuir o tempo de esvaziamento — ou seja, aumentar a vazão Q. Pelo modelo Q=C_d A_o \sqrt{2 g h}, as formas de aumentar Q são aumentar A_o ou aumentar C_d. Duas (ou mais) intervenções possíveis:
  1. Aumentar o diâmetro do orifício (maior A_o) — ex.: substituir o furo de 70\\ \mathrm{mm} por outro maior ou abrir um orifício maior. Isso aumenta diretamente a área e, portanto, a vazão.
  2. Melhorar o acabamento/forma da entrada do orifício para aumentar C_d — ex.: usar um bocais (nozzle) com entrada arredondada ou um “bell-mouth” em vez de um orifício de borda cortante; eliminar arestas vivas e rugosidade. Isso reduz a contração do jato e perdas, aumentando C_d.
  3. (opção adicional) Instalar vários orifícios menores em paralelo ou uma grade com furos maiores efetivos — múltiplos orifícios aumentam a área total A_o efetiva e, assim, aumentam a vazão total.

Resposta

a) T\approx 558\\ \mathrm{s}\approx 9{,}3\\ \mathrm{min}.
b) Aumentar o diâmetro do orifício (maior A_o); melhorar a forma da entrada (bocal arredondado / bell-mouth) para aumentar C_d.

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