Um tanque de
de comprimento e
de largura contém uma lâmina d’água de
.
a) Qual será o tempo necessário para abaixar a altura d’água para 20 cm , se um orificio de 70 mm de diâmetro for aberto no fundo do tanque? O coeficiente de descarga do orificio é igual a 0,61 .
b) O que poderia ser feito, no que se refere ao orificio, a fim de diminuir o tempo de esvaziamento desse reservatório? Cite ao menos duas intervenções possíveis.
a) Qual será o tempo necessário para abaixar a altura d’água para 20 cm , se um orificio de 70 mm de diâmetro for aberto no fundo do tanque? O coeficiente de descarga do orificio é igual a 0,61 .
b) O que poderia ser feito, no que se refere ao orificio, a fim de diminuir o tempo de esvaziamento desse reservatório? Cite ao menos duas intervenções possíveis.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Calcular o tempo necessário para baixar a lâmina d’água de
até abrindo um orifício no fundo. - (b) Indicar pelo menos duas intervenções, relacionadas ao orifício, que diminuam o tempo de esvaziamento.
Dados fornecidos (vou listar todos para não nos perdermos):
Também usarei
.
A resolução começa no próximo passo.
A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Vamos explicar a física que usamos (a “fórmula padrão” para esse tipo de problema) de forma bem didática.
Quando o orifício no fundo está descarregando para a atmosfera, a velocidade de saída da água, sem considerar perdas extras, é dada pela fórmula de Torricelli:
onde:
-
é a velocidade teórica de saída (m/s), -
é a aceleração da gravidade (m/s ), -
é a altura da superfície livre acima do orifício (m).
Na prática existe contração do jato e perdas. Introduzimos então o coeficiente de descarga
(adimensional), que reduz a vazão ideal. A vazão volumétrica pelo orifício é:
onde:
-
é a vazão (m /s), -
é a área do orifício (m ).
Explicando cada termo:
é área física do furo;
vem de converter a energia potencial (altura) em velocidade pelo princípio de Bernoulli;
corrige o fato de que a velocidade real e a área efetiva do jato são menores que os ideais por causa de contração e perdas viscosas.
Passo 3
Agora escrevemos a equação de balanço de massa (continuidade) no tanque. O volume de água no tanque é
, onde a área da base do tanque é
A taxa de variação do volume é a vazão de saída (negativa):
Rearranjando:
Passo 4
Separamos variáveis e integramos para obter o tempo de esvaziamento de
até
. Primeiro reorganizamos:
Integramos ambos os lados de
(quando
) até
(quando
):
A integral do lado esquerdo é simples:
. Logo:
Isolando
:
Esta é a fórmula que vamos usar numericamente. Note que
, então
.
Passo 5
Calculemos tudo passo a passo numericamente.
- Área do orifício:
Calculando:
- Valores numéricos que aparecem na fórmula:
- Numerador da fórmula:
Calculando raízes:
Logo o numerador:
- Denominador da fórmula:
- Tempo
:
Convertendo para minutos:
Arredondando:
Passo 6
Comentário prático rápido (para te acalmar): o resultado mostra que, com um orifício de
e
, o tanque esvazia de
a
em cerca de
minutos. A matemática foi direta: Bernoulli (Torricelli) + continuidade + separação de variáveis. Dá para fazer isso bem na prova sem calculadora com aproximações.
Passo 7
Agora as intervenções (relacionadas ao orifício) para diminuir o tempo de esvaziamento — ou seja, aumentar a vazão
. Pelo modelo
, as formas de aumentar
são aumentar
ou aumentar
. Duas (ou mais) intervenções possíveis:
- Aumentar o diâmetro do orifício (maior
) — ex.: substituir o furo de por outro maior ou abrir um orifício maior. Isso aumenta diretamente a área e, portanto, a vazão. - Melhorar o acabamento/forma da entrada do orifício para aumentar
— ex.: usar um bocais (nozzle) com entrada arredondada ou um “bell-mouth” em vez de um orifício de borda cortante; eliminar arestas vivas e rugosidade. Isso reduz a contração do jato e perdas, aumentando . - (opção adicional) Instalar vários orifícios menores em paralelo ou uma grade com furos maiores efetivos — múltiplos orifícios aumentam a área total
efetiva e, assim, aumentam a vazão total.
Resposta
a)
b) Aumentar o diâmetro do orifício (maior ); melhorar a forma da entrada (bocal arredondado / bell-mouth) para aumentar
.
b) Aumentar o diâmetro do orifício (maior