Exercício 3. Sabemos que o conjunto dos números complexos
, munido das operações usuais de adiçà (£) o de números complexos e multiplicaçà (£) o de número real por número complexo, é um espaço vetorial sobre
.
Mostre que o número complexo
, gera o espaço vetorial complexo (
).
Mostre que o número complexo
Passo 1
O enunciado considera
como espaço vetorial sobre o corpo
(scalar multiplication é a multiplicação usual de complexos) e pede para mostrar que o único vetor
gera todo o espaço, isto é, que
. Vamos usar a definição de subespaço gerado por um conjunto de vetores.
Passo 2
Por definição, o subespaço gerado pelo vetor
é
Para provar que
, basta mostrar que todo
pode ser escrito como
para algum
.
Passo 3
Seja
um elemento arbitrário de
. Tomamos o escalar
Então, usando a regra de multiplicação de complexos,
Logo, cada
pertence a
.
Passo 4
Concluímos que
isto é,
gera todo o espaço vetorial
.
Resposta
O vetor
gera
, pois para todo
vale
, logo
.\n