Exercício 3. Sabemos que o conjunto dos números complexos mathbb{C}, munido das operações usuais de adiçà (£) o de números complexos e multiplicaçà (£) o de número real por número complexo, é um espaço vetorial sobre mathbb{R}.
Mostre que o número complexo z_{1} \doteq 1, gera o espaço vetorial complexo ( mathbb{C},+, \cdot ).

Passo 1

O enunciado considera \mathbb{C} como espaço vetorial sobre o corpo \mathbb{C} (scalar multiplication é a multiplicação usual de complexos) e pede para mostrar que o único vetor z_{1}\doteq1 gera todo o espaço, isto é, que \langle z_{1}\rangle=\mathbb{C}. Vamos usar a definição de subespaço gerado por um conjunto de vetores.

Passo 2

Por definição, o subespaço gerado pelo vetor z_{1} é
\langle z_{1}\rangle =\{\,\lambda\cdot z_{1}\mid \lambda\in\mathbb{C}\}.
Para provar que \langle z_{1}\rangle=\mathbb{C}, basta mostrar que todo z\in\mathbb{C} pode ser escrito como \lambda\cdot z_{1} para algum \lambda\in\mathbb{C}.

Passo 3

Seja z um elemento arbitrário de \mathbb{C}. Tomamos o escalar
\lambda \;=\; z.
Então, usando a regra de multiplicação de complexos,
\lambda\cdot z_{1} = z \cdot 1 = z.
Logo, cada z\in\mathbb{C} pertence a \langle z_{1}\rangle.

Passo 4

Concluímos que
\langle z_{1}\rangle =\{\,\lambda\cdot z_{1}\mid \lambda\in\mathbb{C}\} =\mathbb{C},
isto é, z_{1}=1 gera todo o espaço vetorial \mathbb{C}.

Resposta

O vetor z_{1}=1 gera \mathbb{C}, pois para todo z\in\mathbb{C} vale z = z\cdot1, logo \langle1\rangle=\mathbb{C}.\n

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