Exercício 3. Quais dos seguintes subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real (\mathcal{F}(\mathbb{R}),+, \cdot) ? Justifique sua resposta.
W \doteq\{f \in \mathcal{F}(\mathbb{R}) ; f(-3)=2+f(1)\}).\

Passo 1

O enunciado apresenta o espaço vetorial \mathcal{F}(\mathbb{R}), formado por todas as funções reais de variável real com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar, e o subconjunto
W = \{\,f \in \mathcal{F}(\mathbb{R}) \mid f(-3) = 2 + f(1)\}.
Para que W seja subespaço vetorial, ele deve satisfazer três condições:
  1. Conter a função zero.
  2. Ser fechado sob soma: se f,g\in W então f+g\in W.
  3. Ser fechado sob multiplicação por escalar: se f\in W e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha f\in W.

Passo 2

Testamos a função zero f_0(x)=0. Temos
f_0(-3)=0 \quad\text{e}\quad 2+f_0(1)=2+0=2,
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f_0(-3)\;=\;0\;\neq\;2\;=\;2+f_0(1),
o que mostra que f_0\notin W.

Resposta

Como o subespaço deve conter a função zero e W não a contém, concluímos que W não é subespaço vetorial de \mathcal{F}(\mathbb{R}).

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