Exercício 2. Quais dos seguintes subconjuntos W de \mathbb{R}^{n} são subespaços vetoriais do espaço vetorial real \left(\mathbb{R}^{n},+, \cdot\right) ? Justifique sua resposta.
W \doteq\left\{\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n} ; x_{1} \in \mathbb{Z}\right\}.

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto
W = \{(x_{1},\dots,x_{n})\in \mathbb{R}^n \mid x_{1}\in \mathbb{Z}\}
é um subespaço vetorial de (\mathbb{R}^n,+,\cdot). Para responder, vamos usar o critério padrão de subespaço, que exige:
  1. W\neq\emptyset (contém o vetor zero).
  2. u,v\in W\implies u+v\in W (fechamento em adição).
  3. \lambda\in\mathbb{R},\,v\in W\implies \lambda v\in W (fechamento em multiplicação escalar).

Passo 2

Verificamos não vazio e fechamento em adição.
  • O vetor zero (0,0,\dots,0) está em W porque 0\in\mathbb{Z}.
  • Se u=(u_{1},\dots,u_{n})\in W e v=(v_{1},\dots,v_{n})\in W, então u_{1}\in\mathbb{Z} e v_{1}\in\mathbb{Z}. Ao somarmos, (u+v)_{1}=u_{1}+v_{1}\in\mathbb{Z}, logo u+v\in W.

Passo 3

Verificamos fechamento em multiplicação escalar.
Se v=(v_{1},\dots,v_{n})\in W então v_{1}\in\mathbb{Z}. Para \lambda\in\mathbb{R}, o primeiro componente de \lambda v é \lambda v_{1}. Em geral \lambda v_{1}\notin\mathbb{Z} (por exemplo, v_{1}=1 e \lambda=\tfrac12 dão (\tfrac12\cdot1)\notin\mathbb{Z}). Assim \lambda v\notin W.

Resposta

W não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^n, pois não é fechado sob multiplicação escalar.

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