Exercício 7. Seja
uma curva regular. O que podemos dizer sobre o traço de
sabendo que:
Todas as retas normais passam por um determinado ponto fixo?
Todas as retas normais passam por um determinado ponto fixo?
Passo 1
O enunciado diz: temos uma curva regular
(isto é,
para todo
do parâmetro) e sabemos que “todas as retas normais passam por um determinado ponto fixo”. Vou chamar esse ponto fixo de
.
Informações dadas:
Informações dadas:
-
é regular: para todo . - Para cada parâmetro
, a reta normal à curva em passa por .
O que é pedido: - Descrever qual é o traço (a imagem) de
sabendo essa propriedade das retas normais.
Passo 2
O que é uma reta normal (explicação bem explícita): para uma curva plana
a cada
associamos o vetor tangente
. Uma reta normal em
é a reta que passa por
e é perpendicular ao vetor tangente
. Em linguagem vetorial, se
é um vetor normal (qualquer vetor não nulo perpendicular a
), a reta normal pode ser descrita como
A hipótese "todas as retas normais passam por
" significa que, para cada
, existe algum
tal que
Isto implica que o vetor
é paralelo a um vetor normal, logo é ortogonal ao vetor tangente
. Em fórmulas:
Passo 3
Construímos a função que mede o quadrado da distância de
até o ponto
:
Explicando:
é o quadrado da norma do vetor
; usar o quadrado facilita derivar sem raíz.
Passo 4
Calculamos a derivada de
. Use a regra da derivada do produto / derivada do produto escalar: se
, então
e
Como
, obtemos
Mas no Passo 2 vimos que
para todo
. Portanto
Passo 5
Se
para todo
, a função
é constante. Logo existe uma constante
tal que
Isto significa que a distância de
a
é constante:
. Assim, todos os pontos da curva
ficam sobre a circunferência de centro
e raio
.
Passo 6
Observações finais e cuidados (didática):
- Como
é regular, , a curva não se reduz a um ponto constante; portanto normalmente e a imagem é um arco (ou toda) de uma circunferência de raio . - Exemplo concreto para fixar: a circunferência centrada em
de raio dada por tem exatamente a propriedade de que todas as suas retas normais passam por . A demonstração acima é a recíproca: se todas as normais concurrem em , então a curva está sobre uma circunferência centrada em .
Resposta
O traço de
está contido numa circunferência de centro no ponto fixo (isto é, existe
tal que
para todo
).