Exercício 7. Seja \alpha(t) uma curva regular. O que podemos dizer sobre o traço de \alpha sabendo que:
Todas as retas normais passam por um determinado ponto fixo?

Passo 1

O enunciado diz: temos uma curva regular \alpha(t) (isto é, \alpha'(t)\neq 0 para todo t do parâmetro) e sabemos que “todas as retas normais passam por um determinado ponto fixo”. Vou chamar esse ponto fixo de O.
Informações dadas:
  • \alpha(t) é regular: \alpha'(t)\neq 0 para todo t.
  • Para cada parâmetro t, a reta normal à curva em \alpha(t) passa por O.
    O que é pedido:
  • Descrever qual é o traço (a imagem) de \alpha sabendo essa propriedade das retas normais.

Passo 2

O que é uma reta normal (explicação bem explícita): para uma curva plana \alpha(t) a cada t associamos o vetor tangente \alpha'(t). Uma reta normal em \alpha(t) é a reta que passa por \alpha(t) e é perpendicular ao vetor tangente \alpha'(t). Em linguagem vetorial, se n(t) é um vetor normal (qualquer vetor não nulo perpendicular a \alpha'(t)), a reta normal pode ser descrita como
\{\alpha(t)+\lambda n(t)\mid \lambda\in\mathbb{R}\}.
A hipótese "todas as retas normais passam por O" significa que, para cada t, existe algum \lambda(t) tal que
O=\alpha(t)+\lambda(t)n(t).
Isto implica que o vetor \alpha(t)-O é paralelo a um vetor normal, logo é ortogonal ao vetor tangente \alpha'(t). Em fórmulas:
(\alpha(t)-O)\cdot \alpha'(t)=0\quad\text{para todo }t.

Passo 3

Construímos a função que mede o quadrado da distância de \alpha(t) até o ponto O:
g(t)=\|\alpha(t)-O\|^2.
Explicando: \|\alpha(t)-O\|^2 é o quadrado da norma do vetor \alpha(t)-O; usar o quadrado facilita derivar sem raíz.

Passo 4

Calculamos a derivada de g(t). Use a regra da derivada do produto / derivada do produto escalar: se u(t)=\alpha(t)-O, então g(t)=u(t)\cdot u(t) e
g'(t)=2\,u(t)\cdot u'(t).
Como u'(t)=\alpha'(t), obtemos
g'(t)=2(\alpha(t)-O)\cdot \alpha'(t).
Mas no Passo 2 vimos que (\alpha(t)-O)\cdot \alpha'(t)=0 para todo t. Portanto
g'(t)=0\quad\text{para todo }t.

Passo 5

Se g'(t)=0 para todo t, a função g é constante. Logo existe uma constante R^2\ge 0 tal que
\|\alpha(t)-O\|^2=R^2\quad\text{para todo }t.
Isto significa que a distância de \alpha(t) a O é constante: \|\alpha(t)-O\|=R. Assim, todos os pontos da curva \alpha(t) ficam sobre a circunferência de centro O e raio R.

Passo 6

Observações finais e cuidados (didática):
  • Como \alpha é regular, \alpha'(t)\neq 0, a curva não se reduz a um ponto constante; portanto normalmente R>0 e a imagem é um arco (ou toda) de uma circunferência de raio R.
  • Exemplo concreto para fixar: a circunferência centrada em O de raio R dada por \alpha(t)=O+R(\cos t,\sin t) tem exatamente a propriedade de que todas as suas retas normais passam por O. A demonstração acima é a recíproca: se todas as normais concurrem em O, então a curva está sobre uma circunferência centrada em O.

Resposta

O traço de \alpha está contido numa circunferência de centro no ponto fixo (isto é, existe R tal que \|\alpha(t)-O\|=R para todo t).

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