Exercício 7. Seja \alpha(t) uma curva regular. O que podemos dizer sobre o traço de \alpha sabendo que:
Todas as retas tangentes passam por um determinado ponto fixo?

Passo 1

O enunciado dá que \alpha(t) é uma curva regular (ou seja, \alpha'(t)\neq 0 para todo t do parâmetro) e que todas as retas tangentes à curva passam por um ponto fixo, digamos P. A pergunta é: o que podemos afirmar sobre o traço (imagem) de \alpha?\n
Informações relevantes fornecidas:
  1. \alpha(t) é regular: \alpha'(t)\neq 0 para todo t.
  2. Existe um ponto fixo P tal que, para todo t, a reta tangente em \alpha(t) contém P.
  3. Precisamos descrever geometricamente o traço de \alpha (por exemplo: pertence a uma reta, a uma circunferência, etc.).

Passo 2

Primeiro simplifico a escrita: faço uma translação de coordenadas para colocar P na origem. Defino
\beta(t)=\alpha(t)-P.
Translação não altera se a curva é reta, circular, etc.; portanto é suficiente analisar \beta, que satisfaz a mesma propriedade em relação à origem: todas as tangentes de \beta passam pela origem. Ou seja, para todo t a reta tangente em \beta(t) contém o ponto O=(0,0).

Passo 3

Interpretação algebraica da condição "a reta tangente em \beta(t) passa por O". A reta tangente em \beta(t) é o conjunto \{\beta(t)+s\,\beta'(t)\mid s\in\mathbb{R}\}. Dizer que essa reta contém O equivale a existir um escalar s(t) tal que
\beta(t)+s(t)\,\beta'(t)=0.
Isto é, para cada t existe s(t) com essa igualdade. Reescrevendo,
\beta'(t) = -\frac{1}{s(t)}\,\beta(t).
Defino a função escalar \mu(t) := -\dfrac{1}{s(t)}. Assim obtemos a relação vetorial fundamental
\beta'(t)=\mu(t)\,\beta(t)
para todo t em que \beta(t)\neq 0 (tratamos o caso \beta(t)=0 à parte depois).

Passo 4

Interpretação da equação \beta'(t)=\mu(t)\,\beta(t). Essa equação diz que, para cada t (onde \beta(t)\neq 0), o vetor velocidade \beta'(t) é paralelo ao vetor posição \beta(t). Geometricamente, isso implica que a direção de \beta(t) não muda: todos os vetores \beta(t) estão na mesma linha diretriz (são múltiplos entre si), na vizinhança de um ponto onde \beta\neq 0.
Vou tornar isso mais explícito e simples de seguir: escolha um t_0 tal que \beta(t_0)\neq 0 e defina o vetor unitário
v := \frac{\beta(t_0)}{\|\beta(t_0)\|}.
Considere o intervalo onde \beta(t)\neq 0. Em tal intervalo podemos escrever \beta(t)=r(t)\,v para alguma função escalar r(t) (isto porque \beta(t) é sempre colinear com v ali). Diferenciando essa expressão obtemos
\beta'(t)=r'(t)\,v.
Mas pela equação vetorial temos também \beta'(t)=\mu(t)\,r(t)\,v. Comparando os dois lados (ambos são múltiplos de v) vemos que
r'(t)=\mu(t)\,r(t).
Essa é uma equação diferencial escalar de primeira ordem, cuja solução geral é
r(t)=C\exp\!\Big(\int \mu(t)\,dt\Big),
onde C é uma constante (dependente da condição inicial). Assim \beta(t)=r(t)\,v mostra que, para todo t no intervalo considerado, \beta(t) é um múltiplo escalar do mesmo vetor fixo v. Portanto todos os pontos \beta(t) ficam sobre a mesma reta que passa pela origem e tem direção v.

Passo 5

Trato do caso em que \beta(t_1)=0 para algum t_1 (isto é, \alpha(t_1)=P). Se \beta(t_1)=0 e a curva é regular então \beta'(t_1)\neq 0; a reta tangente em \beta(t_1)=O é justamente a reta que passa por O na direção de \beta'(t_1). Pela hipótese essa reta também é a mesma diretriz dos outros pontos (pela continuidade e pela equação do passo anterior), logo incluir o ponto O apenas adiciona esse ponto à mesma reta. Em outras palavras, permitir que a curva passe por P não cria uma nova geometria: a imagem continuará contida naquela reta que encontramos.

Passo 6

Conclusão clara e intuitiva: a consequência de \beta'(t) ser sempre paralelo a \beta(t) é que todos os vetores posição \beta(t) apontam na mesma direção fixa. Voltando à curva original \alpha (lembre que \beta=\alpha-P), isso significa que todos os pontos \alpha(t) pertencem a uma reta que passa por P. Portanto o traço de \alpha está contido numa reta que passa pelo ponto fixo dado.

Passo 7

Observações finais e exemplos rápidos (para fixar a ideia):
  • Um exemplo que satisfaz a hipótese é \alpha(t)=P+(t,0): uma reta (ou segmento/raio) passando por P; as tangentes (todas com mesma direção) passam por P.
  • Uma circunferência centrada em P não satisfaz a hipótese, pois a tangente em cada ponto é perpendicular ao raio e portanto não passa por P.
  • Em resumo: a condição “todas as tangentes passam por um ponto fixo” força a curva a ser essencialmente um pedaço de reta que passa por esse ponto.

Resposta

O traço de \alpha está contido em uma reta que passa pelo ponto fixo.

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