Exercício 7. Seja
uma curva regular. O que podemos dizer sobre o traço de
sabendo que:
Todas as retas tangentes passam por um determinado ponto fixo?
Todas as retas tangentes passam por um determinado ponto fixo?
Passo 1
O enunciado dá que
é uma curva regular (ou seja,
para todo
do parâmetro) e que todas as retas tangentes à curva passam por um ponto fixo, digamos
. A pergunta é: o que podemos afirmar sobre o traço (imagem) de
?\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
-
é regular: para todo . - Existe um ponto fixo
tal que, para todo , a reta tangente em contém . - Precisamos descrever geometricamente o traço de
(por exemplo: pertence a uma reta, a uma circunferência, etc.).
Passo 2
Primeiro simplifico a escrita: faço uma translação de coordenadas para colocar
na origem. Defino
Translação não altera se a curva é reta, circular, etc.; portanto é suficiente analisar
, que satisfaz a mesma propriedade em relação à origem: todas as tangentes de
passam pela origem. Ou seja, para todo
a reta tangente em
contém o ponto
.
Passo 3
Interpretação algebraica da condição "a reta tangente em
passa por
". A reta tangente em
é o conjunto
. Dizer que essa reta contém
equivale a existir um escalar
tal que
Isto é, para cada
existe
com essa igualdade. Reescrevendo,
Defino a função escalar
. Assim obtemos a relação vetorial fundamental
para todo
em que
(tratamos o caso
à parte depois).
Passo 4
Interpretação da equação
. Essa equação diz que, para cada
(onde
), o vetor velocidade
é paralelo ao vetor posição
. Geometricamente, isso implica que a direção de
não muda: todos os vetores
estão na mesma linha diretriz (são múltiplos entre si), na vizinhança de um ponto onde
.
Vou tornar isso mais explícito e simples de seguir: escolha um
tal que
e defina o vetor unitário
Considere o intervalo onde
. Em tal intervalo podemos escrever
para alguma função escalar
(isto porque
é sempre colinear com
ali). Diferenciando essa expressão obtemos
Mas pela equação vetorial temos também
. Comparando os dois lados (ambos são múltiplos de
) vemos que
Essa é uma equação diferencial escalar de primeira ordem, cuja solução geral é
onde
é uma constante (dependente da condição inicial). Assim
mostra que, para todo
no intervalo considerado,
é um múltiplo escalar do mesmo vetor fixo
. Portanto todos os pontos
ficam sobre a mesma reta que passa pela origem e tem direção
.
Passo 5
Trato do caso em que
para algum
(isto é,
). Se
e a curva é regular então
; a reta tangente em
é justamente a reta que passa por
na direção de
. Pela hipótese essa reta também é a mesma diretriz dos outros pontos (pela continuidade e pela equação do passo anterior), logo incluir o ponto
apenas adiciona esse ponto à mesma reta. Em outras palavras, permitir que a curva passe por
não cria uma nova geometria: a imagem continuará contida naquela reta que encontramos.
Passo 6
Conclusão clara e intuitiva: a consequência de
ser sempre paralelo a
é que todos os vetores posição
apontam na mesma direção fixa. Voltando à curva original
(lembre que
), isso significa que todos os pontos
pertencem a uma reta que passa por
. Portanto o traço de
está contido numa reta que passa pelo ponto fixo dado.
Passo 7
Observações finais e exemplos rápidos (para fixar a ideia):
- Um exemplo que satisfaz a hipótese é
: uma reta (ou segmento/raio) passando por ; as tangentes (todas com mesma direção) passam por . - Uma circunferência centrada em
não satisfaz a hipótese, pois a tangente em cada ponto é perpendicular ao raio e portanto não passa por . - Em resumo: a condição “todas as tangentes passam por um ponto fixo” força a curva a ser essencialmente um pedaço de reta que passa por esse ponto.
Resposta
O traço de
está contido em uma reta que passa pelo ponto fixo.