• Exercício 2: Sejam x, y:[0, \infty) \rightarrow(0, \infty) funções que modelam, respectivamente, a população de uma determinada espécie que se alimenta com algum tipo de comida e a população de um de seus predadores. O modelo predador-presa de Volterra afirma que estas funções satisfazem as equações x^{\prime}(t)=a x(t)-c x(t) y(t) e y^{\prime}(t)=-b y(t)+ d x(t) y(t), a, b, c, d>0. Se considerarmos y como função de x, a igualdade \frac{d y}{d x}=y^{\prime}(t) / x^{\prime}(t) transforma o sistema de equações acima em uma equação diferencial na forma
M(x, y)+N(x, y) \frac{d y}{d x}=0
(a) Obtenha as expressões de M(x, y) e N(x, y).
(b) Calcule as derivadas parciais de M_{y} e N_{x} e compare os resultados.
(c) Calcule as derivas parciais \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{M}{x y}\right) e \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{N}{x y}\right) e compare os resultados.
(d) Use o item anterior para determinar implicitamente a solução geral da equação
(e) Determine de maneira implícita a solução da equação (2) que satisfaz y(1)=1.

Passo 1

O enunciado dá o sistema de equações
x'(t)=a\,x(t)-c\,x(t)\,y(t),\qquad y'(t)=-b\,y(t)+d\,x(t)\,y(t),
com a,b,c,d>0. Pede-se:
(a) escrever a equação obtida ao tomar y como função de x na forma M(x,y)+N(x,y)\dfrac{dy}{dx}=0 e identificar M e N;
(b) calcular as derivadas parciais M_{y} e N_{x} e comparar;
(c) calcular \dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{M}{x y}\right) e \dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{N}{x y}\right) e comparar;
(d) usar o item (c) para determinar implicitamente a solução geral da equação;
(e) encontrar implicitamente a solução que satisfaz y(1)=1.
Informações relevantes: as funções x,y:(0,\infty) (domínio dado no enunciado como [0,\infty)\to(0,\infty)) são positivas, e podemos usar \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y'(t)}{x'(t)} sempre que x'(t)\neq0. Não se pede solução explícita y=y(x), mas uma solução implícita.

Passo 2

Primeiro escrevo \dfrac{dy}{dx} usando as derivadas temporais dadas:
\frac{dy}{dx}=\frac{y'(t)}{x'(t)}=\frac{-b\,y+d\,x\,y}{a\,x-c\,x\,y}.
Multiplico ambos os lados por a\,x-c\,x\,y e trago todos os termos para o mesmo lado, obtendo uma forma do tipo M(x,y)+N(x,y)\dfrac{dy}{dx}=0. Faça a álgebra devagar:
(a\,x-c\,x\,y)\frac{dy}{dx} -(-b\,y+d\,x\,y)=0.
Reescrevendo -(-b\,y+d\,x\,y)=b\,y-d\,x\,y, a equação fica
b\,y-d\,x\,y + (a\,x-c\,x\,y)\frac{dy}{dx}=0.
Portanto podemos identificar
M(x,y)=b\,y-d\,x\,y,\qquad N(x,y)=a\,x-c\,x\,y.

Passo 3

Agora calculo as derivadas parciais M_{y} e N_{x}. Lembrete rápido: a derivada parcial de uma função em duas variáveis em relação a y trata x como constante; em relação a x trata y como constante.
Escrevo M e N de forma a ver as dependências:
M(x,y)=y(b-dx),\qquad N(x,y)=x(a-cy).
Derivo em relação a y:
M_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y(b-dx)\bigr)=b-dx.
Derivo N em relação a x:
N_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x(a-cy)\bigr)=a-cy.
Comparação: \,M_{y}(x,y)=b-dx e \,N_{x}(x,y)=a-cy. Em geral essas expressões não são iguais (a não ser em casos especiais de a,b,c,d e x,y que satisfaçam uma relação), então a equação original M\,dx+N\,dy=0 não é, a princípio, exata.

Passo 4

Agora calculo as derivadas parciais pedidas no item (c). Primeiro simplifico M/(x y) e N/(x y).
Compute:
\frac{M(x,y)}{x y}=\frac{b\,y-d\,x\,y}{x y}=\frac{b}{x}-d.
Observação: peguei os termos de M e dividi por x y; isso cancelou y em todos os termos. Como resultado \dfrac{M}{x y} depende apenas de x, não de y.
Portanto
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{M}{x y}\right)=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{b}{x}-d\right)=0,
pois \dfrac{b}{x}-d é independente de y.
Agora para N:
\frac{N(x,y)}{x y}=\frac{a\,x-c\,x\,y}{x y}=\frac{a}{y}-c.
Isto depende apenas de y, logo
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{N}{x y}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{a}{y}-c\right)=0.
Comparação: ambas as derivadas parciais são iguais (ambas são 0). Conclusão prática: multiplicando a equação original pelo fator \mu(x,y)=\dfrac{1}{x y} obtemos uma equação diferencial exata, porque as condições de exatidão para as formas multiplicadas por \mu ficam satisfeitas.

Passo 5

Explico rapidamente o que significa “exata” e por que isso ajuda. Uma equação diferencial na forma
\tilde M(x,y)\,dx+\tilde N(x,y)\,dy=0
é exata se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que \Phi_x=\tilde M e \Phi_y=\tilde N. Uma condição suficiente é \tilde M_{y}=\tilde N_{x} em uma região simplesmente conexa. No nosso caso, definimos
\tilde M(x,y)=\frac{M(x,y)}{x y}=\frac{b}{x}-d,\qquad \tilde N(x,y)=\frac{N(x,y)}{x y}=\frac{a}{y}-c,
e vimos que \tilde M_{y}=\tilde N_{x}=0, logo a forma \tilde M\,dx+\tilde N\,dy=0 é exata.
Para resolver uma equação exata, procuramos \Phi(x,y) tal que \Phi_x=\tilde M e \Phi_y=\tilde N. Integro \tilde M em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int \tilde M(x,y)\,dx=\int\left(\frac{b}{x}-d\right)dx=b\ln x - d x + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (constante de integração em relação a x).
Agora imposto \Phi_y=\tilde N. Calculo \Phi_y usando a expressão acima:
\Phi_y(x,y)=h'(y).
Mas devemos ter \Phi_y=\tilde N=\dfrac{a}{y}-c. Logo
h'(y)=\frac{a}{y}-c.
Integro h'(y) em relação a y:
h(y)=\int\left(\frac{a}{y}-c\right)dy=a\ln y - c y + C,
onde C é constante real arbitrária.
Substituo h(y) em \Phi:
\Phi(x,y)=b\ln x - d x + a\ln y - c y + C.

Passo 6

A solução implícita geral da equação (forma conservada do potencial) é dada por
\Phi(x,y)=\text{const},
ou seja
b\ln x + a\ln y - d x - c y = C,
onde C é constante arbitrária. Esta é a solução geral implícita pedida no item (d).
Se quiser, podemos rearranjar de formas equivalentes, por exemplo
b\ln x + a\ln y - d(x-1) - c(y-1)=0
quando escolhermos a constante adequada; mas a forma b\ln x + a\ln y - d x - c y=C é a resposta padrão.

Passo 7

Finalmente uso a condição inicial y(1)=1 para determinar C. Substituo (x,y)=(1,1) na expressão geral:
b\ln 1 + a\ln 1 - d\cdot 1 - c\cdot 1 = C.
Como \ln 1=0, resulta
C=-d-c.
Portanto a solução implícita que satisfaz y(1)=1 é
b\ln x + a\ln y - d x - c y = -d - c.

Resposta

(a) M(x,y)=b\,y-d\,x\,y,\qquad N(x,y)=a\,x-c\,x\,y.
(b) M_{y}(x,y)=b-dx,\qquad N_{x}(x,y)=a-cy. (Não são iguais em geral.)
(c) \dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{M}{x y}\right)=0,\qquad \dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{N}{x y}\right)=0. (São iguais.)
(d) Solução geral implícita: b\ln x + a\ln y - d x - c y = C.
(e) Solução implícita com y(1)=1: b\ln x + a\ln y - d x - c y = -d - c.

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