- Exercício 2: Sejam
funções que modelam, respectivamente, a população de uma determinada espécie que se alimenta com algum tipo de comida e a população de um de seus predadores. O modelo predador-presa de Volterra afirma que estas funções satisfazem as equações
e
. Se considerarmos
como função de
, a igualdade
transforma o sistema de equações acima em uma equação diferencial na forma
(a) Obtenha as expressões de
e
.
(b) Calcule as derivadas parciais de
e
e compare os resultados.
(c) Calcule as derivas parciais
e
e compare os resultados.
(d) Use o item anterior para determinar implicitamente a solução geral da equação
(e) Determine de maneira implícita a solução da equação (2) que satisfaz
.
(b) Calcule as derivadas parciais de
(c) Calcule as derivas parciais
(d) Use o item anterior para determinar implicitamente a solução geral da equação
(e) Determine de maneira implícita a solução da equação (2) que satisfaz
Passo 1
O enunciado dá o sistema de equações
com
. Pede-se:
(a) escrever a equação obtida ao tomar como função de
na forma
e identificar
e
;
(b) calcular as derivadas parciais e
e comparar;
(c) calcular e
e comparar;
(d) usar o item (c) para determinar implicitamente a solução geral da equação;
(e) encontrar implicitamente a solução que satisfaz .
(a) escrever a equação obtida ao tomar
(b) calcular as derivadas parciais
(c) calcular
(d) usar o item (c) para determinar implicitamente a solução geral da equação;
(e) encontrar implicitamente a solução que satisfaz
Informações relevantes: as funções
(domínio dado no enunciado como
) são positivas, e podemos usar
sempre que
. Não se pede solução explícita
, mas uma solução implícita.
Passo 2
Primeiro escrevo
usando as derivadas temporais dadas:
Multiplico ambos os lados por
e trago todos os termos para o mesmo lado, obtendo uma forma do tipo
. Faça a álgebra devagar:
Reescrevendo
, a equação fica
Portanto podemos identificar
Passo 3
Agora calculo as derivadas parciais
e
. Lembrete rápido: a derivada parcial de uma função em duas variáveis em relação a
trata
como constante; em relação a
trata
como constante.
Escrevo
e
de forma a ver as dependências:
Derivo em relação a
:
Derivo
em relação a
:
Comparação:
e
. Em geral essas expressões não são iguais (a não ser em casos especiais de
e
que satisfaçam uma relação), então a equação original
não é, a princípio, exata.
Passo 4
Agora calculo as derivadas parciais pedidas no item (c). Primeiro simplifico
e
.
Compute:
Observação: peguei os termos de
e dividi por
; isso cancelou
em todos os termos. Como resultado
depende apenas de
, não de
.
Portanto
pois
é independente de
.
Agora para
:
Isto depende apenas de
, logo
Comparação: ambas as derivadas parciais são iguais (ambas são
). Conclusão prática: multiplicando a equação original pelo fator
obtemos uma equação diferencial exata, porque as condições de exatidão para as formas multiplicadas por
ficam satisfeitas.
Passo 5
Explico rapidamente o que significa “exata” e por que isso ajuda. Uma equação diferencial na forma
é exata se existe uma função potencial
tal que
e
. Uma condição suficiente é
em uma região simplesmente conexa. No nosso caso, definimos
e vimos que
, logo a forma
é exata.
Para resolver uma equação exata, procuramos
tal que
e
. Integro
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração em relação a
).
Agora imposto
. Calculo
usando a expressão acima:
Mas devemos ter
. Logo
Integro
em relação a
:
onde
é constante real arbitrária.
Substituo
em
:
Passo 6
A solução implícita geral da equação (forma conservada do potencial) é dada por
ou seja
onde
é constante arbitrária. Esta é a solução geral implícita pedida no item (d).
Se quiser, podemos rearranjar de formas equivalentes, por exemplo
quando escolhermos a constante adequada; mas a forma
é a resposta padrão.
Passo 7
Finalmente uso a condição inicial
para determinar
. Substituo
na expressão geral:
Como
, resulta
Portanto a solução implícita que satisfaz
é
Resposta
(a)
(b) (Não são iguais em geral.)
(c) (São iguais.)
(d) Solução geral implícita:
(e) Solução implícita com :
(b)
(c)
(d) Solução geral implícita:
(e) Solução implícita com